ラプラス方程式 （ラプラスほうていしき、英 : Laplace's equation ）は、2階線型の楕円型 偏微分方程式
∇2 φ = Δφ = 0 である。ここで、∇2 = Δ はラプラシアン （ラプラス作用素、ラプラスの演算子）である。なお、∇ についてはナブラ を参照。ラプラス方程式は、発見者であるピエール＝シモン・ラプラス から名づけられた。ラプラス方程式の解は、電磁気学 、天文学 、流体力学 など自然科学の多くの分野で重要である。ラプラス方程式の解についての一般理論はポテンシャル理論 という一つの分野となっている。
R 3
∂
2
∂
x
2
ϕ
(
x
,
y
,
z
)
+
∂
2
∂
y
2
ϕ
(
x
,
y
,
z
)
+
∂
2
∂
z
2
ϕ
(
x
,
y
,
z
)
=
0.
{\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\phi (x,y,z)+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}\phi (x,y,z)+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\phi (x,y,z)=0.}
数学以外の自然科学の分野では、たとえば電荷分布のない一様な媒質中の静電ポテンシャル や、熱伝導 など拡散方程式 の定常な場合などがこの方程式で表される。ラプラス方程式には、時間に当たる変数 t が含まれていない。即ち、ラプラス方程式は、時間によって変化しない定常状態 を表す偏微分方程式であると言える。時間を反映した変数がないので、ラプラス方程式には、初期条件はなく、境界条件だけが必要となる。
変数の数は任意有限個に拡張できる。n 変数の関数 φ = φ (x 1 , x 2 ,..., x n
∂
2
∂
x
1
2
ϕ
+
∂
2
∂
x
2
2
ϕ
+
⋯
+
∂
2
∂
x
n
2
ϕ
=
0
{\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}\phi +{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}}\phi +\cdots +{\partial ^{2} \over \partial x_{n}^{2}}\phi =0}
を一般にラプラス方程式と呼ぶ。同様に微分作用素
Δ
=
∂
2
∂
x
1
2
+
∂
2
∂
x
2
2
+
⋯
+
∂
2
∂
x
n
2
{\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}}+\cdots +{\partial ^{2} \over \partial x_{n}^{2}}}
をラプラシアンと呼ぶ。
ラプラシアンの固有値は、ある関数 u ≠ 0
△
u
=
λ
u
{\displaystyle \triangle u=\lambda u}
を満たすような λ である。これはヘルムホルツ方程式 である。
