数学 において、複雑な形状の曲線 （弧状線分）の弧長 （こちょう、英 : arc length 曲線の求長 (rectification) とも呼ばれ、特定の曲線に対する求長法は歴史的に様々なものが考えられてきたが、無限小解析 の到来とともに曲線に依らない一般論が導かれ、いくつかの場合にはそこから閉じた形の式 （英語版 ）
複数の線分による近似 平面 内の曲線 は、曲線上の有限 個の点 を線分 で結んで得られる折線 で近似することができる。各線分の長さは、ユークリッド空間におけるピタゴラスの定理 などから直接に求まるので、近似折線の総延長はそれらの線分の長さの総和 として決定することができる。
考えている曲線がはじめから折線なのでなければ、用いる線分の長さを短くして数を増やすことによって、よりその曲線に近い形の折線近似が得られる。そうやってよりよい近似折線を次々につくっていくと、その長さは減ることはなく、場合によっては無制限に増加し続ける可能性もある。しかし、殊滑らかな曲線に限っては、それは線分の長さを無限に小さく する極限で必ず一定の極限値へ収斂する。このように、ある種の曲線に対しては、任意の近似折線の長さの上界に最小値 L 有限長 であるといい、値 L 弧長 と呼ぶのである。
X ユークリッド空間 R n 距離空間 であるとし、C X 曲線 とする。すなわち、C 実数直線 内の閉区間 [a , b ] から X 連続写像 f : [a , b ] → X 像 である。
区間 [a , b ] に対して 区間の分割
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯ ⋯ -->
<
t
n
− − -->
1
<
t
n
=
b
{\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b}
を考えれば、曲線 C f (t 0 ), f (t 1 ), ... , f (t n -1f (t n f (t i f (t i +1距離 をそれぞれ d (f (t i d (f (t i +1線分 の長さである。
曲線 C 弧長 L = L (C )
L
(
C
)
=
sup
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯ ⋯ -->
<
t
n
=
b
∑ ∑ -->
i
=
0
n
− − -->
1
d
(
f
(
t
i
)
,
f
(
t
i
+
1
)
)
{\displaystyle L(C)=\sup _{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b}\sum _{i=0}^{n-1}d(f(t_{i}),f(t_{i+1}))}
で与えられる。ただし、上限 sup は区間 [a , b ] の分割個数 n
弧長 L 有限 にも無限 にもなりうるが、L ≠ ∞C 有限長 （rectifiable [ 注 1] 無限長 （non-rectifiable C 可微分函数 f
曲線は様々な方法で媒介変数表示されうる。そこで曲線 C f 媒介変数表示 g : [c , d ] → X f g 単射 であるときには、連続単調写像 S : [a , b ] → [c , d ]g (S (t )) = f (t )S -1 : [c , d ] → [a , b ]
∑ ∑ -->
i
=
0
n
− − -->
1
d
(
f
(
t
i
)
,
f
(
t
i
+
1
)
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}d(f(t_{i}),f(t_{i+1}))}
の形の和は、u i S (t i
∑ ∑ -->
i
=
0
n
− − -->
1
d
(
g
(
u
i
)
,
g
(
u
i
+
1
)
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}d(g(u_{i}),g(u_{i+1}))}
の形の和に等しく、逆もまた同様である。従って弧長は、それが媒介変数の取り方に依らないという意味で、曲線に内在する性質であることがわかる。
曲線に対するこの弧長の定義は、実数値函数に対する全変分 （全変動）の定義の類似である。
実函数 f (x )f f ’[a , b ] 上の連続函数 であるようなものを考えると、f x = a x = b s
s
=
∫ ∫ -->
a
b
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}
で与えられる。
曲線が x = X (t )y = Y (t )f ’(x ) = dy / dx dy / dt / dx / dt
s
=
∫ ∫ -->
a
b
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
=
∫ ∫ -->
a
b
1
+
[
Y
′
(
t
)
X
′
(
t
)
]
2
d
x
=
∫ ∫ -->
a
b
1
X
′
(
t
)
[
X
′
(
t
)
]
2
+
[
Y
′
(
t
)
]
2
d
x
=
∫ ∫ -->
a
b
[
X
′
(
t
)
]
2
+
[
Y
′
(
t
)
]
2
d
x
⋅ ⋅ -->
d
t
d
x
=
∫ ∫ -->
X
− − -->
1
(
a
)
X
− − -->
1
(
b
)
[
X
′
(
t
)
]
2
+
[
Y
′
(
t
)
]
2
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[{\frac {Y'(t)}{X'(t)}}\right]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {1}{X'(t)}}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\cdot {\frac {dt}{dx}}\\&=\int _{X^{-1}(a)}^{X^{-1}(b)}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dt\end{aligned}}}
が成り立つ。これらは、十分小さな増分 Δx , Δy Δx , Δy
また、極座標系 において r = f (θ )θ = α θ = β s
s
=
∫ ∫ -->
α α -->
β β -->
r
2
+
(
d
r
d
θ θ -->
)
2
d
θ θ -->
{\displaystyle s=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{\!\!2}}}\,d\theta }
で与えられる。
単純曲線まで含めても多くの場合、弧長は閉じた形の式 （英語版 ） 数値的 に行われることになる。弧長の閉じた形の公式を持つ曲線には、懸垂線 、円 、擺線 、対数螺旋 、抛物線 、半立方抛物線 （英語版 ） 直線 などが挙げられる。また、楕円 の弧長の閉じた形の式を導こうとする試みから、楕円積分 の理論が発展した。
曲線の小片 Δs ピタゴラスの定理 を使って近似できる。 曲線の弧長を近似するために曲線をたくさんの線分 に分解するが、弧長の長さを近似値 でなく真の値として得るには無限に多くの線分が必要になる。これはつまり、各線分を無限に小さくすることを意味しているが、このことは後に積分 を用いる際に効いてくる。
線分の代表元を見れば、その長さ（線素）が微分 ds dx dy ピタゴラスの定理 から
d
s
=
d
2
x
+
d
2
y
{\displaystyle ds={\sqrt {d^{2}x+d^{2}y}}}
が従う。曲線が媒介変数 t ds dt
∫ ∫ -->
a
b
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {{\Bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\Bigr )}^{\!\!2}+{\Bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,dt}
によって弧長 s y x t = x
s
=
∫ ∫ -->
a
b
1
+
(
d
y
d
x
)
2
d
x
{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,dx}
を得る。これは y = f (x )x = a x = b
曲線 y = t 5 , x = t 3 例として、曲線が
{
y
=
t
5
,
x
=
t
3
{\displaystyle {\begin{cases}y=t^{5},\\x=t^{3}\end{cases}}}
で与えられているものとし、さらに t が −1 から 1 までの値をとるものとすると、弧長を表す積分は
∫ ∫ -->
− − -->
1
1
(
3
t
2
)
2
+
(
5
t
4
)
2
d
t
=
∫ ∫ -->
− − -->
1
1
9
t
4
+
25
t
8
d
t
≈ ≈ -->
2.9053418626
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {(3t^{2})^{2}+(5t^{4})^{2}}}\,dt=\int _{-1}^{1}{\sqrt {9t^{4}+25t^{8}}}\,dt\approx 2.9053418626\cdots }
となる。数値計算をすれば、この弧長が 2.905 にかなり近いことがわかる。超幾何函数 を用いて表せば、
2
2
F
1
(
− − -->
1
2
,
3
4
;
7
4
;
− − -->
25
9
)
{\displaystyle 2\,{}_{2}F_{1}\!\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {7}{4}};-{\frac {25}{9}}\right)}
になる。
複数の直角三角形の斜辺が曲線を近似している。 函数 y = f (x )a b f S Δx Δy ピタゴラスの定理 により
Δ Δ -->
x
2
+
Δ Δ -->
y
2
=
1
+
(
Δ Δ -->
y
Δ Δ -->
x
)
2
Δ Δ -->
x
{\displaystyle {\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}={\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x}
と与えられる。S n
S
≈ ≈ -->
∑ ∑ -->
i
=
1
n
1
+
(
Δ Δ -->
y
i
Δ Δ -->
x
i
)
2
Δ Δ -->
x
i
{\displaystyle S\approx \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x_{i}}
と書けるが、Δx Δx 0 に近づける極限で S
S
=
lim
Δ Δ -->
x
i
→ → -->
0
∑ ∑ -->
i
=
1
∞ ∞ -->
1
+
(
Δ Δ -->
y
i
Δ Δ -->
x
i
)
2
Δ Δ -->
x
i
=
∫ ∫ -->
a
b
1
+
(
d
y
d
x
)
2
d
x
=
∫ ∫ -->
a
b
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle S=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{\infty }{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x_{i}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}
が得られる。
円弧の長さは中心角を周角で割ったものを周長にかけたものに一致する。半径を r d C = 2π r C = π d ラジアン で測れば、半径 r θ s = rθ s subtend 半円 の弧長は s = π r s
数学史 の大半の時期においては、偉大な思想家ですらも、特異な弧の長さを計算することは不可能と考えられた。窄出法 （積尽法）と呼ばれる独自の方法を用いて、曲線に囲まれる領域の面積を求めた先駆者であったアルキメデス でさえも、直線が持つのと同様の確かな長さを曲線が持つことが可能であるとはほとんど信じていなかった。しばしば微分積分学 の起源と考えられるこの分野が開拓される最初の足掛かりは、近似法 を用いることであった。人々は、曲線に内接する多角形 を考え、その辺の長さを曲線の幾分精密な長さを知るために計算するということを始めるのである。線分の数を増やして各線分の長さを記述することによって、どんどん精密な近似を得ることができた。特に、円に内接する多角形の辺の数を増やすことによって、円周率 π の近似値が求められた。
17世紀には、窄出法を基にして様々な超越曲線 に関する幾何学的方法による求長法が導かれた。例えば、対数螺旋 は1645年にトリチェリ によって（文献によっては1650年代にウォリス によって）、擺線 は1658年にレン によって、懸垂線 は1691年にライプニッツ によって、それぞれ求長されている。
1659年には、ウォリスがウィリアム・ニール による非自明な代数曲線 の最初の求長法の発見と認める、半立方抛物線 の求長が成された。
微分積分学が完全に厳密に展開される以前に、弧長に対する現代的な積分公式の基礎は、ファン・ヘラート （オランダ語版 ） フェルマー によって独立に発見される。1659年にファン・ヘラートは、曲線が囲む面積（これは実質的に積分）として弧長が解釈できることを示す構成法を公表し、それを放物線 に適用した。一方、1660年にフェルマーは、ヘラートと同じ結果を含むより一般の理論を、著書『De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica
フェルマーの求長法 フェルマーはそれまでの自身による接線を用いる方法に基づいて、曲線
y
=
x
2
3
{\displaystyle y=x^{\frac {2}{3}}}
を用いた。これは x = a 接線 が傾き
3
2
a
1
2
{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\,a^{\frac {1}{2}}}
を持つから、接線の方程式は
y
=
3
2
a
1
2
(
x
− − -->
a
)
+
f
(
a
)
{\displaystyle y={\tfrac {3}{2}}\,{a^{\frac {1}{2}}}(x-a)+f(a)}
で与えられる。ここで a a + ε AC が A から D までの曲線の弧長の比較的よい近似になるようにする。線分 AC の長さを求めるためにピタゴラスの定理 を用い、
A
C
2
=
A
B
2
+
B
C
2
=
ε ε -->
2
+
9
4
a
ε ε -->
2
=
ε ε -->
2
(
1
+
9
4
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AC} ^{2}&=\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {BC} ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{\frac {9}{4}}\,a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{\frac {9}{4}}\,a\right)\end{aligned}}}
から、両辺の平方根をとって
A
C
=
ε ε -->
1
+
9
4
a
{\displaystyle \mathrm {AC} =\varepsilon {\sqrt {1+{\frac {9}{4}}\,a\ }}}
を得る。弧長を近似するために、フェルマーはこのような小線分の列を足し上げたのである。
コッホ曲線 x sin(1 / x 既に述べたように、曲線の中には求長不能な、すなわち折線近似の長さに上界 がない（長さをいくらでも大きくできる）ものが存在する。少し砕けた表現では、そのような曲線は長さが無限大であるなどという。曲線上の（少なくとも二点以上を含む）任意の弧が無限長を持つような連続曲線が存在する。そのような曲線の例としてコッホ曲線 や、0 をいずれかの端点とする任意の開区間上で f (x ) = x sin(1 / x f (0) = 0ハウスドルフ次元 やハウスドルフ測度 （英語版 ）
M （擬）リーマン多様体 とし、γ : [0, 1] → M M g γ
ℓ ℓ -->
(
γ γ -->
)
=
∫ ∫ -->
0
1
± ± -->
g
(
γ γ -->
′
(
t
)
,
γ γ -->
′
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{0}^{1}{\sqrt {\pm g(\gamma '(t),\gamma '(t))}}\,dt}
と定義される。ただし、γ ’(t ) ∈ T γ (t )M γ t
相対性理論 における時間様曲線（世界線 ）の弧長は、世界線に沿って経過する固有時 である。
^ このような曲線を長さをもつ曲線 (rectifiable curve ) ということがある[ 1]
^ 一松 信『解析学序説 上巻』裳華房、1981年2月1日、244頁。
Farouki, Rida T. (1999). Curves from motion, motion from curves. In P-J. Laurent, P. Sablonniere, and L. L. Schumaker (Eds.), Curve and Surface Design: Saint-Malo 1999 , pp.63–90, Vanderbilt Univ. Press. ISBN 0-8265-1356-5 .
![{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27b05f8c5aa910b4bb893560dd67ff90c00c7fc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[{\frac {Y'(t)}{X'(t)}}\right]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {1}{X'(t)}}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\cdot {\frac {dt}{dx}}\\&=\int _{X^{-1}(a)}^{X^{-1}(b)}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0399f04725f1187d840bdd06f728cb75d5254d4e)
![{\displaystyle S=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{\infty }{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x_{i}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e26f91dc082db734fb650de01e72ecf0ec5048a)
