数学 における等差数列 ( とうさすうれつ ) または算術数列 ( さんじゅつすうれつ 、( 英 : arithmetic progression, arithmetic sequence )とは、隣接する各項の差が等しい数列 である。隣接する項の差を公差 ( こうさ 、( 英 : common difference )という。
例えば、5, 7, 9, … は初項 5 , 公差 2 の等差数列である。同様に、1, 7, 13, … は公差 6 の等差数列である。
等差数列の初項を a 0 とし、その公差を d とすれば、第n 項 an は
a
n
=
a
0
+
n
d
{\displaystyle a_{n}=a_{0}+nd}
であり、一般に
a
n
=
a
m
+
(
n
−
m
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d}
と書ける。
等差数列の和は算術級数 (arithmetic series ) という。等差数列の無限和(無限算術級数 )は発散級数 である。
総和
2
+
5
+
8
+
11
+
14
=
40
14
+
11
+
8
+
5
+
2
=
40
16
+
16
+
16
+
16
+
16
=
80
和 2 + 5 + 8 + 11 + 14 の計算。もとの数列を逆順にした数列を用意して、もとの数列と項ごとに加えると、得られる数列は同じ1つの値を繰り返す(その値はもとの数列の初項と末項の和)。ゆえに、2 + 14 = 16, 16 × 5 = 80 が求める和の2倍に等しい。
有限の[ 注釈 1] 等差数列の和を算術級数 と言う。公差 d の等差数列の第 n 項まで a 0 , a 1 , …, an の総和は、
S
n
=
∑
k
=
0
n
a
k
=
a
0
+
a
1
+
⋯
+
a
n
=
(
n
+
1
)
a
0
+
a
n
2
=
(
n
+
1
)
2
a
0
+
n
d
2
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\\&=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}\\&=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}\\&=(n+1){\frac {2a_{0}+nd}{2}}\end{aligned}}}
と表される。この種の式は、フィボナッチ の『算盤の書 』("Liber Abaci "; 1202年 , ch. II.12)に登場する[ 注釈 2] 。
GIF動画: 自然数の和 1 + 2 + … + n を求める公式の導出
算術級数の公式は、算術級数 Sn の各項を初項 a 0 で書き換えたものと、末尾の項 an で書き換えたもの和から 2Sn を求めることで得られる:
S
n
=
a
0
+
(
a
0
+
d
)
+
(
a
0
+
2
d
)
+
⋯
+
(
a
0
+
n
d
)
+
S
n
=
a
n
+
(
a
n
−
d
)
+
(
a
n
−
2
d
)
+
⋯
+
(
a
n
−
n
d
)
2
S
n
=
(
a
0
+
a
n
)
+
(
a
0
+
d
+
a
n
−
d
)
+
(
a
0
+
2
d
+
a
n
−
2
d
)
+
⋯
+
(
a
0
+
n
d
+
a
n
−
n
d
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{0}\color {green}+(a_{0}+d)\color {blue}+(a_{0}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}+nd)\\[5pt]{}+S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-nd)\\\hline 2S_{n}&=\color {red}(a_{0}+a_{n})\color {green}+(a_{0}{\bcancel {{}+d}}+a_{n}{\bcancel {{}-d}})\color {blue}+(a_{0}{\bcancel {{}+2d}}+a_{n}{\bcancel {{}-2d}})\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}{\bcancel {{}+nd}}+a_{n}{\bcancel {{}-nd}})\end{aligned}}}
右辺では公差 d を含む項が消去されて初項と末項の和だけが残る。結局 2Sn = (n + 1)(a 0 + an ) となる。両辺を 2 で割れば
S
n
=
(
n
+
1
)
a
0
+
a
n
2
{\displaystyle S_{n}=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}
を得る。そして算術級数の平均値 Sn / n + 1 は、明らかに a 0 + an / 2 である。499年に、インド数学 ・天文学 (英語版 ) 古典期の数学者 であり天文学者 であるアーリヤバタ は、Aryabhatiya (英語版 ) (section 2.18) でこのような方法を与えている。
総乗
初項 a 0 で、公差 d の等差数列に対して、初項から 第 n 項までの総乗
P
n
:=
a
0
⋅
a
1
⋅
⋯
⋅
a
n
=
a
0
⋅
(
a
0
+
d
)
⋅
⋯
⋅
(
a
0
+
n
d
)
=
d
a
0
d
⋅
d
(
a
0
d
+
1
)
⋅
⋯
⋅
d
(
a
0
d
+
n
)
=
d
n
+
1
(
a
0
d
)
n
+
1
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&:=a_{0}\cdot a_{1}\cdot \dotsb \cdot a_{n}\\&=a_{0}\cdot (a_{0}+d)\cdot \dotsb \cdot (a_{0}+nd)\\&=d{\frac {a_{0}}{d}}\cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+1\right)\cdot \dotsb \cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+n\right)\\&=d^{n+1}{\left({\frac {a_{0}}{d}}\right)}^{\overline {n+1}}\end{aligned}}}
(
x
n
¯
{\displaystyle x^{\overline {n}}}
は上昇階乗冪 )はガンマ関数 Γ を用いて
P
n
=
d
n
+
1
Γ
(
a
0
d
+
n
+
1
)
Γ
(
a
0
d
)
{\displaystyle P_{n}=d^{n+1}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}+n+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}\right)}}}
という閉じた式 (英語版 ) によって計算できる(ただし、a 0 /d が負の整数や 0 となる場合は、式は意味を持たない)。Γ(n + 1) = n ! に注意すれば、上記の式は、1 から n までの積 1 × 2 × ⋯ × n = n ! および正の整数 m から n までの積 m × (m + 1) × ⋯ × (n − 1) × n = n !/ (m − 1)! を一般化するものであることが分かる。
共通項
任意の両側無限等差数列が2つ与えられたとき、それらに共通に現れる項を(項の前後関係は変えずに)並べて与えられる数列(数列の「交わり」)は、空数列であるか別の新たな等差数列であるかのどちらかである(中国の剰余定理 から示せる)。両側無限等差数列からなる族 に対し、どの2つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限等差数列の族はヘリー族 (英語版 ) である[ 1] 。しかし、無限個の無限等差数列の交わりをとれば、無限数列ではなくただ一つの数となり得る。
注釈・出典
注釈
出典
^ Duchet, Pierre (1995), “Hypergraphs”, in Graham, R. L.; Grötschel, M.; Lovász, L., Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2 , Amsterdam: Elsevier, pp. 381-432, MR 1373663 . See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394 .
参考文献
Fibonacci, Leonardo ; Sigler, Laurence E.訳 (2002). Fibonacci's Liber Abaci . Springer-Verlag. pp. 259-260. ISBN 0-387-95419-8
関連項目
外部リンク