LAPACK

LAPACK (Linear Algebra PACKage)は数値線形代数のための数値解析ソフトウェアライブラリで、線型方程式や線型最小二乗問題、固有値問題、特異値問題等を数値的に解くために利用される。本ライブラリは複素数または実数を成分とする行列を扱うことが可能であり、LU分解やコレスキー分解、QR分解、シュア分解等の行列の分解を行うためのサブルーチンを含む。サブルーチンは単精度版と倍精度版が提供される。1992年 (1992)のLAPACKの初版はFORTRAN 77 で実装されていたが、現在はFortran 90が用いられている。LAPACK 3.4.0からはC言語インターフェースであるLAPACKEが統合され、C言語やC++からの利用が容易になった。

LAPACKはLINPACKおよびEISPACKの後継と見做されている。ただし、LINPACKの設計が開発当時近代的であった共有メモリ型ベクトルコンピュータを意識したものであるのに対して、本ライブラリの設計はキャッシュを用いたアーキテクチャを有する、より近代的なコンピュータを意識したものである。LAPACKはLINPACK同様にBLAS（Basic Linear Algebra Subprograms、基本線型代数サブプログラム群）ライブラリ上に構築されている。LAPACKは後に分散メモリ型のコンピュータ向けにScaLAPACK（英語版）やPLAPACK（英語版）へと拡張された。

Reference LAPACKは三条項BSDライセンスで提供されるオープンソースソフトウェアである。

LAPACKのサブルーチンは以下の三種類に大別される。

ドライバルーチン（driver routines）

LAPACKが扱うことが可能な問題を解くためのルーチン。 問題の例として線型方程式系を解く問題や対称行列の固有値問題などが挙げられる。利用者の要請に合致する機能のドライバルーチンが存在する場合にはそのルーチンの利用が推奨される。

計算ルーチン（computational routines）

問題を解くために必要な計算タスクを実行するためのルーチン。LAPACKのドライバルーチンは計算ルーチンを連続的に呼び出すことで問題を解く。計算タスクの例として行列をLU分解することや対称行列を三重対角行列に変換することなどが挙げられる。前者は線型方程式系を解くために、そして後者は対称行列の固有値問題を解くために必要である。利用者の要請に合致するドライバルーチンが存在しない場合は計算ルーチンを組み合わせて問題を解くことになる。

補助ルーチン（auxiliary routines）

補助的に利用されるルーチン。ブロックアルゴリズム内部で利用される計算タスクの一部を実行するものや、BLASの機能をわずかに拡張したものが含まれる。

LAPACKとBLASのサブルーチンの名称は機能の判別が平易である範囲で短くなるような規則で命名されている。 これは初期のFORTRANにおける関数の名称に関する仕様上の制限を受けたものである。

サブルーチンはpmmaaaの規則で命名される。 以下、LAPACKのDGESV（倍精度一般行列の方程式系の求解）とBLASのDGEMM（倍精度行列の積の計算）を例に挙げる。

• pは通常は一文字の英字で数値データの型を表現するために利用される^{[注釈 1]}。SとDはそれぞれ単精度と倍精度の実数を意味し、CとZはそれぞれ単精度と倍精度の複素数を意味する。なお、一文字目を別の文字に置き換えてサブルーチンの名称を記述することがある^{[注釈 2]}。ただし、サブルーチンが採用するアルゴリズムによっては例外が存在することに注意が必要である^{[注釈 3]}。
• mmは二文字の英字でサブルーチンが採用するアルゴリズムが想定する行列の型を意味する。行列の型を現す略号は以下に表で示す。サブルーチンが想定する行列データの格納方法は型ごとに異なる。例えば、対角行列を意味するDIが与えられた場合は対角要素が格納された長さnの配列を、一般行列を意味するGEが与えられた場合は行列の要素が格納されたn×nの配列という具合いである。
• aaaは一文字から三文字の英数字でサブルーチンの処理内容を表現する。例えばSVは線型方程式系の求解を意味し、MMは行列の積を意味する。

命名規則の詳細はLAPACK Users' Guideの当該項目^[3]を参照。

LAPACKにはサブルーチンの機能とインターフェースに互換性のある実装が多く存在する。それぞれの動作環境についてはリンク先を参照。

Reference LAPACK

netlib による公式リファレンス実装。

OpenBLAS

オープンソース実装。x86, x86-64, MIPS32, MIPS64, ARM, ARM64, POWER, IBM zEnterprise, RISC-V 上の Linux, Microsoft Windows, macOS, FreeBSD, OpenBSD, NetBSD, DragonFly BSD, Android, iOS, AIX, Haiku, Solaris で動作。

Accelerateフレームワーク

Apple のデバイス用

AOCL-LAPACK (AMD Optimizing CPU Libraries)

AMD CPU 用

Arm Performance Libraries

ARM64用

cuSOLVER

NVIDIA GPU 用のサブセット実装。

ESSL (Engineering and Scientific Subroutine Library)

IBMによる実装。POWER上のAIXおよびLinuxで動作。

Intel oneAPI Math Kernel Library

インテルの CPU, GPU 用

MathKeisan

日本電気による実装。NEC SX上のSUPER-UXをサポート。

Oracle Developer Studio Performance Library

オラクルによる実装。SPARC と x86-64 上の Oracle Solaris と Linux で動作する BLAS および LAPACK 実装。旧称Sun Performance Library。

rocSOLVER

AMD GPU 用のサブセット実装。

HP MLIB

ヒューレット・パッカードによる実装。

SCSL (Scientific Computing Software Library)

SGIによる実装。

LAPACKはFortran 90以外のプログラミング言語から利用することが可能であり、これを目的とした言語バインディングのためのライブラリも開発されている。LAPACK 3.4.0よりC言語インターフェースであるLAPACKEが統合された。

以下に例を示す。

• LAPACK95: Fortran 95用。インターフェースが簡略化される。
• CLAPACK: C言語用。Fortran版をf2c（英語版）によって変換したもの。
• LAPACKE: C言語用。インテルのMath Kernel Library互換のC言語インターフェース。
• LAPACK++: C++用。
• Armadillo: C++用。
• CPPLAPACK: C++用。
• Boost Numeric Bindings: C++用。
• SciPy: Python用。
• jlapack: Java用。
• CSLapack: C#用。
• Linalg: Ruby用。
• LACAML: OCaml用。
• hmatrix: Haskell用。
• Accelerateフレームワーク: Objective-C用インターフェースが提供される。
• Gonum: LAPACK and BLAS in Native Go

多くの処理系ではライブラリのC言語バインディングが可能であるため、いくらかの制約があるにせよLAPACKのサブルーチンをC言語の関数のように利用できる。ただし、Fortranコンパイラが存在しない処理系ではCLAPACKも有効な選択肢となる。なお、Automatically Tuned Linear Algebra Software（英語版）が提供するC言語インターフェース^[4]も存在するが、これはf2cのCLAPACKとは互換性が無い。

C言語では慣用のrow-major orderingな行列を計算させる場合、LAPACKEでは指定オプションが用意されている。その場合、内部で行列転置が行われオーバヘッドが発生する。例えば行列積は、内部の計算は下記のように行われる。ここで「${\displaystyle \cdot }$」はBLAS/LAPACK本来のcolumn-major orderingな行列積を意味している。

${\displaystyle C=\left(A^{\textrm {T}}\cdot B^{\textrm {T}}\right)^{\textrm {T}}}$

• E. Anderson, Z. Bai, C. Bischof, S. Blackford, J. Demmel, J. Dongarra, J. Du Croz, A. Greenbaum, S. Hammarling, A. McKenney, D. Sorensen：”LAPACK Users' Guide (Software, Environments and Tools)”、SIAM、ISBN 978-0898714470（1987年1月1日）。
• 村田健郎、J.J.ドンガラ、小国力、三好 俊郎、長谷川 秀彦：「行列計算ソフトウェア―WS、スーパーコン、並列計算機」、丸善、ISBN 978-4621036549（1991年12月）。
• 小国力：「LAPACK利用の手引―行列計算パッケージ」、丸善、ISBN 978-4621040768（1995年7月）。
• 幸谷智紀：「LAPACK/BLAS入門」、森北出版、ISBN 978-4627848818（2016年12月16日）。

ポータル FLOSS

• BLAS
• 数値解析ソフトウェア

• LAPACK Users' Guide 公式サイトのマニュアル
• LAWNs (LAPACK Working Notes) LAPACKの実装に関する文献集
• LAPACKサンプルプログラム集 NAGによるサンプルプログラム集
• PLASMA Parallel Linear Algebra for Scalable Multi-core Architectures、BLAS上に構築されたホモジニアスマルチコア向けの線型計算ライブラリ
• CULA NVIDIAのCUDA対応GPU上で動作する線型計算ライブラリ
• MAGMA Matrix Algebra on GPU and Multicore Architectures、LAPACKのサブセットでマルチコアCPUとGPUのハイブリッドアーキテクチャ向け
• The MPACK; Multiple precision arithmetic BLAS and LAPACK 多倍長精度版のBLAS/LAPACK
• 「BLAS，LAPACK チュートリアル」 MPACKの開発者によるチュートリアル
  • パート1 （簡単な使い方とプログラミング）
  • パート2 （GPU編）

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
行列値関数	行列指数関数 行列の対数 行列の平方根
その他	スカラー ケイリー・ハミルトンの定理 ペロン＝フロベニウスの定理 シューア補行列 シルヴェスターの慣性法則
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