Skaitļa kvadrāts

Skaitļa kvadrāts ir skaitlis, kas ir kāda vesela skaitļa reizinājums ar sevi. Piemēram, 9 ir skaitlis kvadrātā, jo tas ir vienāds ar 3² un to var rakstīt kā 3 × 3.

Skaitļus kvadrātā n skaitlim pieraksta kā n × n vai biežāk sastopamo, kāpināto n². Nosaukums kvadrāts nāk no figūras nosaukuma, jo kvadrāta laukums ir skaitlis reizināts ar sevi, jeb kvadrātam ar sānu garumu n ir laukums n².

Kvadrātveida skaitļi ir nenegatīvi . Tas ir, skaitlis kvadrātā vienmēr būs lielāks vai vienāds ar 0. Skaitļus sauc par skaitļiem kvadrātā, ja tos ievietojot kvadrātsaknē rodās vesels skaitlis. Piemēram, ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3,}$ tādēļ 9 ir skaitlis kvadrātā.

Nenegatīva skaitļa n, n-tais kvadrāts ir n². Ja tiek rēķnāts ar racionāliem skaitļiem, tad to kvadrāts ir divu kvadrātu veselu skaitļu attiecība, piemēram, kvadrāts, ${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}$ .

Kvadrāti, kas ir mazāki par 60 ² = 3600:

Atstarpe starp blakus esošiem skaitļu kvadrātiem ir:

n² − (n − 1)² = 2n − 1, kur n ir lielākais skaitlis.

Tāpat ir iespējams iegūt skaitļa kvadrātu saskaitot kopā pēdējā skaitļa kvadrātu ar pēdējo skaitli pašreizējo skaitli:

n² = (n − 1)² + (n − 1) + n .

Skaitlis m ir skaitlis kvadrātā tikai tad, ja m punktus var salikt kvadrātā.

Skaitļu kvadrāts ir vienāds ar pirmo n nepāra skaitļu summu. Formula ir šāda:

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}$

Piemēram, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .

Skaitļa kvadrāts - 1 vienmēr ir reizinājums ${\displaystyle {\sqrt {m}}-1}$ un ${\displaystyle {\sqrt {m}}+1}$ (piemēram, 8 × 6 ir 48, bet 7 ² ir 49). Izņēmums 3, kurš ir vienīgais pirmskaitlis, kas ir par vienu mazākas kā kvadrāts.

Decimālajā skaitīšanas sistēmā, skaitļa kvadrāts var beigties tikai ar cipariem 0, 1, 4, 5, 6 vai 9 šādi:

• ja skaitļa pēdējais cipars ir 0, tā kvadrāts beigsies ar 0 (pēdējie divi cipari būs 00);
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 1 vai 9, tā kvadrāts beigisies ar 1;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 2 vai 8, tā kvadrāts beigsies ar 4;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 3 vai 7, tā kvadrāts beigsies ar 9;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 4 vai 6, tā kvadrāts beigsies ar 6;
• ja skaitļa pēdējais cipars ir 5, tā kvadrāts beidzas ar 5 (pēdējie divi cipari būs 25).

Summas formula pirmajiem n kvadrātiem:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}$