Funkcja całkowita

Ten artykuł dotyczy analizy zespolonej. Zobacz też: definicja funkcji całkowitej jako pewnej relacji w artykule o funkcji częściowej.

Funkcja całkowita – funkcja zmiennej zespolonej, która jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej. Oznacza to, że funkcję tę można rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całej płaszczyźnie:

${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$ gdzie ${\displaystyle z,a_{n}\in \mathbb {C} .}$

 Zobacz też: Wielomian.

Każdy wielomian jest całkowity i ma skończone rozwinięcie w szereg Taylora, co więcej on sam jest swoim rozwinięciem. Na przykład:

${\displaystyle f(z)=4z^{5}+7z^{2}+z+2=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

gdzie ciąg ${\displaystyle (a_{n})}$ jest postaci

${\displaystyle (a_{n})=(2,1,7,0,0,4,0,0,0,0,\dots )}$

 Zobacz też: Funkcja eksponencjalna.

Funkcja ${\displaystyle \exp(z)}$ jest funkcją całkowitą zdefiniowaną jako

${\displaystyle \exp(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},}$

gdzie ${\displaystyle n!}$ oznacza silnię.

 Zobacz też: Funkcje trygonometryczne.

Funkcje ${\displaystyle \sin(z)}$ i ${\displaystyle \cos(z)}$ są całkowite. Ich rozwinięcia w szereg Taylora są następujące:

${\displaystyle \cos(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n},}$

${\displaystyle \sin(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}.}$

Z definicji funkcji całkowitej wynika, iż każda funkcja całkowita jest ciągła i nieskończenie wiele razy różniczkowalna, a więc również holomorficzna.

• twierdzenie Liouville’a