Funkcje Kelvina

Funkcje Kelvina – funkcje powiązane z funkcjami Bessela zespolonego argumentu. Oznaczane są symbolami:

${\displaystyle \mathrm {ber} _{\nu }z}$

${\displaystyle \mathrm {bei} _{\nu }z}$

${\displaystyle \ker _{\nu }z}$

${\displaystyle \mathrm {kei} _{\nu }z}$

${\displaystyle \mathrm {her} _{\nu }z}$

${\displaystyle \mathrm {hei} _{\nu }z}$

gdzie ${\displaystyle z}$ jest zmienną zespoloną, a rzeczywisty parametr ${\displaystyle \nu }$ rzędem funkcji.

Funkcje ${\displaystyle \mathrm {ber} _{\nu }z}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {bei} _{\nu }z}$ są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Bessela rzędu rzeczywistego ${\displaystyle J_{\nu }(\dots )}$ o argumencie zespolonym pomnożonym przez stała matematyczną e podniesioną do potęgi ${\displaystyle 3\pi i/4}$ gdzie ${\displaystyle i}$ jest jednostką urojoną:

${\displaystyle J_{m}(e^{\pm 3\pi i/4}z)=\mathrm {ber} _{\nu }z\pm i\,\mathrm {bei} _{\nu }z}$

Alternatywną definicją jest:

${\displaystyle e^{\nu \pi i/2}I_{\nu }(e^{\pi i/4}z)=\mathrm {ber} _{\nu }z+i\,\mathrm {bei} _{\nu }z}$

gdzie ${\displaystyle I_{\nu }(\dots )}$ jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju rzędu rzeczywistego.

Funkcje ${\displaystyle \ker _{\nu }z}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {kei} _{\nu }z}$ są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną podzielonej przez ${\displaystyle e^{\nu \pi i/2}}$ zmodyfikowanej funkcji Bessela drugiego rodzaju rzędu rzeczywistego ${\displaystyle K_{\nu }(\dots )}$ o argumencie zespolonym pomnożonym przez ${\displaystyle e^{\pi i/4}{:}}$

${\displaystyle e^{-\nu \pi i/2}K_{\nu }(e^{\pi i/4}z)=\ker _{\nu }z+i\,\mathrm {kei} _{\nu }z}$

Funkcje ${\displaystyle \mathrm {her} _{\nu }z}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {hei} _{\nu }z}$ są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Hankela I rodzaju rzędu rzeczywistego ${\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(\dots )}$ o argumencie zespolonym pomnożonym przez ${\displaystyle e^{3\pi i/4}{:}}$

${\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(e^{\pm 3\pi i/4}z)=\mathrm {her} _{\nu }z\pm i\,\mathrm {hei} _{\nu }z}$

W zapisie rząd zerowy funkcji Kelvina opuszcza się, tj. mamy:

${\displaystyle J_{0}(i^{\pm 3/2}z)=\mathrm {ber} \,z\pm i\,\mathrm {bei} \,z}$

${\displaystyle J_{0}(i{\sqrt {i}}\,z)=\mathrm {ber} \,z\pm i\,\mathrm {bei} \,z}$

${\displaystyle J_{0}(e^{\pm 3\pi i/4}z)=\mathrm {ber} \,z+i\,\mathrm {bei} \,z}$

${\displaystyle J_{0}(e^{-\pi i/4}z)=\mathrm {ber} \,z+i\,\mathrm {bei} \,z}$

${\displaystyle K_{0}(i^{\pm 1/2}z)=\ker \,z\pm i\,\mathrm {kei} \,z}$

${\displaystyle K_{0}({\sqrt {i}}\,z)=\ker \,z+i\,\mathrm {kei} \,z}$

${\displaystyle K_{0}({\sqrt {-i}}\,z)=\ker \,z-i\,\mathrm {kei} \,z}$

${\displaystyle H_{0}^{(1)}(i^{+3/2}z)=\mathrm {her} \,z+i\,\mathrm {hei} \,z}$

Funkcje Kelvina są rzeczywiste dla rzeczywistych wartości argumentu ${\displaystyle z.}$ W punkcie ${\displaystyle z=0}$ przestrzeni zespolonej funkcje Kelvina posiadają punkt rozgałęzienia z wyjątkiem funkcji ${\displaystyle \mathrm {ber} _{n}z}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {bei} _{n}z}$ rzędu rzeczywistego całkowitego.

Między funkcjami Kelvina zachodzą związki:

${\displaystyle \ker _{\nu }z=-{\frac {\pi }{2}}\,\mathrm {hei} _{\nu }z}$

${\displaystyle \mathrm {kei} _{\nu }z={\frac {1}{2}}\,\mathrm {her} _{\nu }z}$

Funkcje ${\displaystyle \mathrm {ber} \,z,\,\mathrm {bei} \,z,\,\mathrm {her} \,z,\,\mathrm {hei} \,z,}$ spełniają równanie różniczkowe:

${\displaystyle {\frac {d^{2}f(z)}{dz^{2}}}+{\frac {1}{z}}\,{\frac {df(z)}{dz}}-i\,f(z)=0}$

Natomiast funkcje ${\displaystyle \mathrm {ber} _{\nu }z,\,\mathrm {bei} _{\nu }z,\,\mathrm {her} _{\nu }z,\,\mathrm {hei} _{\nu }z,}$ spełniają równanie różniczkowe:

${\displaystyle {\frac {d^{2}f(z)}{dz^{2}}}+{\frac {1}{z}}\,{\frac {df(z)}{dz}}-\left(i+{\frac {\nu ^{2}}{z^{2}}}\right)\,f(z)=0}$

Dla funkcji ${\displaystyle \mathrm {ber} _{n}\,z}$ o rzędzie całkowitym ${\displaystyle n}$ różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

${\displaystyle \mathrm {ber} _{n}\,z=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\,\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}$

gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.

W przypadku funkcji ${\displaystyle \mathrm {ber} \,z}$ rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

${\displaystyle \mathrm {ber} (z)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(z/2)^{4k}}{[(2k)!]^{2}}}}$

tj.:

${\displaystyle \mathrm {ber} (z)=1-{\frac {1}{(2!)^{2}}}\,\left({\frac {z}{2}}\right)^{4}+{\frac {1}{(4!)^{2}}}\,\left({\frac {z}{2}}\right)^{8}-\ldots }$

Dla funkcji ${\displaystyle \mathrm {bei} _{n}\,z}$ o rzędzie całkowitym ${\displaystyle n}$ różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

${\displaystyle \mathrm {bei} _{n}\,z=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\,\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}$

gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.

W przypadku funkcji ${\displaystyle \mathrm {bei} \,z}$ rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

${\displaystyle \mathrm {bei} (z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(z/2)^{4k+2}}{[(2k+1)!]^{2}}}}$

tj.

${\displaystyle \mathrm {bei} (z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{(3!)^{2}}}\,\left({\frac {z}{2}}\right)^{6}+{\frac {1}{(5!)^{2}}}\,\left({\frac {z}{2}}\right)^{10}-\ldots }$

• Watson: A Traetise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
• Olver F.W., Maximin L.C.: Bessel Functions.
• Lozier D.M., et al.: NIST Hanbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
• Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy, Moskva, (1971).
• Korn G.A., Korn T.M.: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.