Metoda Schulzego obrazowo: 1. Pierwsze opuszczenie (strategia heurystyczna ustala zbiór Schwartza, po czym kolejno opuszcza najsłabszą przegraną, aż do skutku)2. Kolejne opuszczenie3. E wygrywa, ponieważ wygrało wszystkie zestawienia parami
Metoda Schulzego (ang.: Schulze method, Schwartz Sequential Dropping (SSD), Cloneproof Schwartz Sequential Dropping (CSSD), Beatpath Method, Beatpath Winner, Path Voting, Path Winner) – metoda wyborcza, czyli oddawania i liczenia głosów, stworzona w 1997 przez Markusa Schulzego w celu wybierania jednego zwycięzcy w głosowaniu preferencyjnym.
Głosowanie odbywa się przez wpisanie liczby przy każdym kandydacie. Wyborca oddaje głos, oznaczając wybranych kandydatów numerami: zaznaczając '1' obok najbardziej preferowanego kandydata, '2' obok następnego w kolejności preferencji itd.
Metoda ta może zostać użyta także w celu wyłonienia listy zwycięzców.
Jeżeli w zestawieniach kandydatów parami, w wyniku tych zestawień jeden z nich jest preferowany, metoda Schulzego gwarantuje, że ten kandydat wygra wybory. Dzięki tej właściwości metoda Schulzego z racji definicji jest metodą Condorceta[1].
Jako pierwszy metody wyłaniania zwycięzcy wyborczego na zasadzie oddawania głosu jako uszeregowanych preferencji opracował już w XVIII wieku francuski matematyk Jean Condorcet. Rajmund Lullus, średniowieczny filozof z Majorki, zaproponował podobne metody[2] już w XIII wieku, przy czym swoje obliczenia wykonywał iteratywnie (parami, po kolei), budując przy tym maszyny logiczne. Z kolei ok. r. 1670 niemiecki matematyk Gottfried Leibniz zastosował metody Lullusa do liczenia, nadając im nazwę ars combinatorica, tworząc przy okazji rodzaj kodu binarnego. Z tego powodu Lull jest dziś uważany za ojca informatyki, a w jego metodach ustalono zapożyczenia z matematyki afrykańskiej[3][4].
Szereg rozmaitych strategii heurystycznych zostało zaproponowanych przez informatyków w celu sprawnego obliczenia wyniku wyborów zgodnie z metodą Schulzego. Najważniejsze z nich to tzw. ścieżkowa (ang. path heuristic) i zbioru Schwartza (ang. Schwartz set heuristic), opisane poniżej. Wszystkie strategie stosujące heurystykę obliczają tego samego zwycięzcę i różnią się od siebie tylko detalami algorytmu.
Strategia ścieżkowa (path heuristic)
Przykładowy formularz do głosowania metodą Schulzego: Wyborca głosuje preferencyjnie, oznaczając wybranych kandydatów numerami: '1' obok najbardziej preferowanego kandydata, '2' obok następnego w kolejności preferencji, itd. Nieoznaczeni kandydaci stają się domyślnie uszeregowani według jednakowej, niższej preferencji od kogokolwiek oznaczonego
W zastosowaniu metody Schulzego (jak i innych ordynacjach preferencyjnych wyłaniającego jednego wygrywającego (ang. single-winner election methods), każdy formularz do oddawania głosu zawiera kompletny spis wszystkich biorących udział w wyborach kandydatów. Wyborca ustawia ich według preferencji, oznaczając wybranych kandydatów numerami (zaznaczając '1' obok najbardziej preferowanego kandydata, '2' obok następnego w kolejności preferencji itd.).
Wyborca może przypisać tę samą preferencję wielu kandydatom, jak i nie oznaczyć kandydata. Jeżeli wyborca nie oznaczy kandydata, znaczy to, że ściśle preferuje oznaczonych nad nieoznaczonym i że nie preferuje nikogo wśród nieoznaczonych.
Rys matematyczny
Niech d[V,W] stanowi liczbę wyborców, którzy ściśle preferują kandydata V nad kandydata W.
Ścieżka prowadząca od kandydata X do kandydata Y o mocy p to ciąg kandydatów C(1),...,C(n) o następujących właściwościach:
C(1) = X i C(n) = Y.
Dla wszystkich i = 1,...,(n-1): d[C(i),C(i+1)] > d[C(i+1),C(i)].
Dla wszystkich i = 1,...,(n-1): d[C(i),C(i+1)] ≥ p.
Istnieje i, 1 ≤ i ≤ n-1 takie że: d[C(i),C(i+1)] = p.
p[A,B], moc najsilniejszej ścieżki od kandydata A do kandydata B, to wartość maksymalna wśród ścieżek od kandydata A do kandydata B. Jeżeli w ogóle nie istnieje ścieżka od kandydata A do kandydata B, wtedy p[A,B] : = 0.
Kandydat D jest lepszym od kandydata E, wtedy i tylko wtedy, gdy p[D,E] > p[E,D].
Kandydat D jest potencjalnie zwycięzcą (wygrywającym) wtedy i tylko wtedy, gdy p[D,E] ≥ p[E,D] dla każdego innego kandydata E.
Pseudokod
Zakładając C jako liczbę kandydatów biorących udział w wyborach, moce najsilniejszych ścieżek można obliczyć algorytmem Floyda-Warshalla. Poniższy pseudokod realizuje ten algorytm iteratywnie, od 1 do C. Jest to dokładne obliczenie, bez przybliżeń. Zdefiniowane ścieżki zaistniały jeszcze przed przeprowadzeniem tych obliczeń.
Wejście: d[i,j] stanowi liczbę wyborców, którzy ściśle preferują kandydata i nad kandydata j.
Wyjście: Kandydat i stanowi potencjalnego zwycięzcę wtedy i tylko wtedy, gdy „zwycięzca[i] = prawda”.
1 od i : = 1 doC
2 od j : = 1 doC
3 jeżeli i ≠ j wtedy
4 jeżeli d[i,j] > d[j,i] wtedy
5 p[i,j] := d[i,j]
6 w przeciwnym wypadku
7 p[i,j] := 0
8
9 od i : = 1 doC
10 od j : = 1 doC
11 jeżeli i ≠ j wtedy
12 od k : = 1 doC
13 jeżeli i ≠ k oraz j ≠ k wtedy
14 p[j,k] : = max { p[j,k]; min { p[j,i]; p[i,k] } }
15
16 od i : = 1 doC
17 zwycięzca[i] := prawda
18 od j : = 1 doC
19 jeżeli i ≠ j oraz p[j,i] > p[i,j] wtedy
20 zwycięzca[i] := fałsz
Przykłady
Przykład 1
45 wyborców wybiera spośród 5 kandydatów:
5 ACBED (oznacza: pięciu wyborców wybrało preferencyjnie: A > C > B > E > D)
5 ADECB
8 BEDAC
3 CABED
7 CAEBD
2 CBADE
7 DCEBA
8 EBADC
d[*,A]
d[*,B]
d[*,C]
d[*,D]
d[*,E]
d[A,*]
20
26
30
22
d[B,*]
25
16
33
18
d[C,*]
19
29
17
24
d[D,*]
15
12
28
14
d[E,*]
23
27
21
31
Macierz zestawiająca pary kandydatów i przez to, przegranych w indywidualnie zestawionych parach, wygląda następująco:
Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.
... do A
... do B
... do C
... do D
... do E
od A ...
A-(30)-D-(28)-C-(29)-B
A-(30)-D-(28)-C
A-(30)-D
A-(30)-D-(28)-C-(24)-E
od B ...
B-(25)-A
B-(33)-D-(28)-C
B-(33)-D
B-(33)-D-(28)-C-(24)-E
od C ...
C-(29)-B-(25)-A
C-(29)-B
C-(29)-B-(33)-D
C-(24)-E
od D ...
D-(28)-C-(29)-B-(25)-A
D-(28)-C-(29)-B
D-(28)-C
D-(28)-C-(24)-E
od E ...
E-(31)-D-(28)-C-(29)-B-(25)-A
E-(31)-D-(28)-C-(29)-B
E-(31)-D-(28)-C
E-(31)-D
strongest paths (najsilniejsze ścieżki):
p[*,A]
p[*,B]
p[*,C]
p[*,D]
p[*,E]
p[A,*]
28
28
30
24
p[B,*]
25
28
33
24
p[C,*]
25
29
29
24
p[D,*]
25
28
28
24
p[E,*]
25
28
28
31
Moc najsilniejszych ścieżek:
Kandydat E jest potencjalnym wygrywającym, ponieważ p[E,X] ≥ p[X,E] dla każdego innego kandydata X.
Przykład 2
30 wyborców wybiera spośród 4 kandydatów:
5 ACBD
2 ACDB
3 ADCB
4 BACD
3 CBDA
3 CDBA
1 DACB
5 DBAC
4 DCBA
d[*,A]
d[*,B]
d[*,C]
d[*,D]
d[A,*]
11
20
14
d[B,*]
19
9
12
d[C,*]
10
21
17
d[D,*]
16
18
13
Macierz zestawiająca pary kandydatów i przez to, przegranych w indywidualnie zestawionych parach, wygląda następująco:
Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.
... do A
... do B
... do C
... do D
od A ...
A-(20)-C-(21)-B
A-(20)-C
A-(20)-C-(17)-D
od B ...
B-(19)-A
B-(19)-A-(20)-C
B-(19)-A-(20)-C-(17)-D
od C ...
C-(21)-B-(19)-A
C-(21)-B
C-(17)-D
od D ...
D-(18)-B-(19)-A
D-(18)-B
D-(18)-B-(19)-A-(20)-C
Najsilniejsze ścieżki:
p[*,A]
p[*,B]
p[*,C]
p[*,D]
p[A,*]
20
20
17
p[B,*]
19
19
17
p[C,*]
19
21
17
p[D,*]
18
18
18
Moc najsilniejszych ścieżek:
Kandydat D jest potencjalnym wygrywającym, ponieważ p[D,X] ≥ p[X,D] dla każdego innego kandydata X.
Przykład 3
30 wyborców wybiera spośród 5 kandydatów:
3 ABDEC
5 ADEBC
1 ADECB
2 BADEC
2 BDECA
4 CABDE
6 CBADE
2 DBECA
5 DECAB
d[*,A]
d[*,B]
d[*,C]
d[*,D]
d[*,E]
d[A,*]
18
11
21
21
d[B,*]
12
14
17
19
d[C,*]
19
16
10
10
d[D,*]
9
13
20
30
d[E,*]
9
11
20
0
Macierz zestawiająca pary kandydatów i przez to, przegranych w indywidualnie zestawionych parach, wygląda następująco:
Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.
... do A
... do B
... do C
... do D
... do E
od A ...
A-(18)-B
A-(21)-E-(20)-C
A-(21)-D
A-(21)-E
od B ...
B-(19)-E-(20)-C-(19)-A
B-(19)-E-(20)-C
B-(19)-E-(20)-C-(19)-A-(21)-D
B-(19)-E
od C ...
C-(19)-A
C-(19)-A-(18)-B
C-(19)-A-(21)-D
C-(19)-A-(21)-E
od D ...
D-(20)-C-(19)-A
D-(20)-C-(19)-A-(18)-B
D-(20)-C
D-(30)-E
od E ...
E-(20)-C-(19)-A
E-(20)-C-(19)-A-(18)-B
E-(20)-C
E-(20)-C-(19)-A-(21)-D
Najsilniejsze ścieżki:
p[*,A]
p[*,B]
p[*,C]
p[*,D]
p[*,E]
p[A,*]
18
20
21
21
p[B,*]
19
19
19
19
p[C,*]
19
18
19
19
p[D,*]
19
18
20
30
p[E,*]
19
18
20
19
Moc najsilniejszych ścieżek:
Kandydat B jest potencjalnym wygrywającym, ponieważ p[B,X] ≥ p[X,B] dla każdego innego kandydata X.
Przykład 4
9 wyborców wybiera spośród 4 kandydatów:
3 ABCD
2 DABC
2 DBCA
2 CBDA
d[*,A]
d[*,B]
d[*,C]
d[*,D]
d[A,*]
5
5
3
d[B,*]
4
7
5
d[C,*]
4
2
5
d[D,*]
6
4
4
Macierz zestawiająca pary kandydatów i przez to, przegranych w indywidualnie zestawionych parach, wygląda następująco:
Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.
... do A
... do B
... do C
... do D
od A ...
A-(5)-B
A-(5)-C
A-(5)-B-(5)-D
od B ...
B-(5)-D-(6)-A
B-(7)-C
B-(5)-D
od C ...
C-(5)-D-(6)-A
C-(5)-D-(6)-A-(5)-B
C-(5)-D
od D ...
D-(6)-A
D-(6)-A-(5)-B
D-(6)-A-(5)-C
Najsilniejsze ścieżki:
p[*,A]
p[*,B]
p[*,C]
p[*,D]
p[A,*]
5
5
5
p[B,*]
5
7
5
p[C,*]
5
5
5
p[D,*]
6
5
5
Moc najsilniejszych ścieżek:
Kandydat B i kandydat D są potencjalnymi wygrywającymi, ponieważ p[B,X] ≥ p[X,B] dla każdego innego kandydata X, jak i p[D,Y] ≥ p[Y,D] dla każdego innego kandydata Y.
Strategia zbioru Schwartza (Schwartz set heuristic)
Zbiór Schwartza
Definicja zbioru Schwartza, według zastosowania w metodzie Schulzego to:
Zbiór niepokonanych jest zbiorem kandydatów, z których żaden nie przegrał z nikim poza zbiorem.
Skrajnie wewnętrzny zbiór niepokonanych to zbiór niepokonanych, który nie zawiera w sobie podzbioru stanowiącego zbiór niepokonanych.
Zbiór Schwartza jest zbiorem kandydatów, którzy należą do skrajnie wewnętrznych zbiorów niepokonanych.
Rys matematyczny
Wyborcy głosują przez wykonanie preferencyjnego rankingu kandydatów, jak w każdym innym głosowaniu metodą Condorceta.
Następnie, metoda Schulzego postępuje algorytmicznie w następujący sposób: w celu wybrania jednego zwycięzcy (lub w celu otrzymania rankingu):
Oblicz zbiór Schwartza przez spisanie wszystkich (bez opuszczania) przegranych.
Jeżeli nie zaistnieje przegrana pośród elementów tego zbioru, wtedy element ten wygrywa lub elementy te (w liczbie mnogiej, w wypadku remisu) wygrywają, i na tym kończy się obliczenie.
W przeciwnym przypadku opuść (ang. drop) najsłabszą przegraną (lub przegrane, w przypadku remisowych przegranych: ex æquo) zaistniałą w zestawieniu pomiędzy dwoma elementami tego zbioru. Wykonaj ponownie polecenie nr 1.
Przykład z wyborem stolicy Tennessee
Sytuacja
W amerykańskim stanie Tennessee cztery największe miasta są rozrzucone względem siebie
Oto przykład fikcyjnego wyboru stolicy stanu Tennessee spośród kilku miast-kandydatów. Populacja tego stanu jest skoncentrowana głównie wokół jego czterech największych miast, które rozrzucone są na mapie stanu. W tym fikcyjnym przypadku wszyscy mieszkańcy stanu zamieszkują te miasta i pragną mieszkać jak najbliżej stolicy.
Kandydatami na stolicę są:
Memphis, największe miasto stanu, gdzie mieszka 42% wyborców, lecz ulokowane jest daleko od pozostałych miast.
Preferencje tych wyborców ułożyłyby się mianowicie:
42% wyborców (blisko Memphis)
26% wyborców (blisko Nashville)
15% wyborców (blisko Chattanooga)
17% wyborców (blisko Knoxville)
Memphis
Nashville
Chattanooga
Knoxville
Nashville
Chattanooga
Knoxville
Memphis
Chattanooga
Knoxville
Nashville
Memphis
Knoxville
Chattanooga
Nashville
Memphis
Rezultat zastosowania metody Schulzego przedstawiony jako tablica:
Rezultaty wyborów przy zestawieniu parami
A
Memphis
Nashville
Chattanooga
Knoxville
B
Memphis
[A] 58% [B] 42%
[A] 58% [B] 42%
[A] 58% [B] 42%
Nashville
[A] 42% [B] 58%
[A] 32% [B] 68%
[A] 32% [B] 68%
Chattanooga
[A] 42% [B] 58%
[A] 68% [B] 32%
[A] 17% [B] 83%
Knoxville
[A] 42% [B] 58%
[A] 68% [B] 32%
[A] 83% [B] 17%
Bilanse głosowania w zestawieniu kandydatów parami (wygrane-przegrane-remisy):
0-3-0
3-0-0
2-1-0
1-2-0
Głosy przeciw w największych przegranych w parze:
58%
N/A
68%
83%
[A] przedstawia wyborców, którzy preferowali kandydata opisanego w kolumnie od kandydata opisanego rzędowo
[B] przedstawia wyborców, którzy preferowali kandydata opisanego rzędowo od kandydata opisanego w kolumnie
Wygrani z poszczególnych zestawień par
Na początek, spisane tu zostały wszystkie możliwe pary, ze wskazaniem kandydata wygrywającego w tychże parach:
Para
Zwycięzca w parze
Memphis (42%) vs. Nashville (58%)
Nashville 58%
Memphis (42%) vs. Chattanooga (58%)
Chattanooga 58%
Memphis (42%) vs. Knoxville (58%)
Knoxville 58%
Nashville (68%) vs. Chattanooga (32%)
Nashville 68%
Nashville (68%) vs. Knoxville (32%)
Nashville 68%
Chattanooga (83%) vs. Knoxville (17%)
Chattanooga: 83%
Można tu użyć albo liczby oddanych głosów, albo procentowe zestawienia ułamka oddanych głosów; wybór tu jest bez znaczenia.
Opuszczanie (dropping)
Następnie, oto spis miast-kandydatów, z bilansem dla każdego z nich (wygrane-przegrane)
Nashville 3-0
Chattanooga 2-1
Knoxville 1-2
Memphis 0-3
Zbiorem Schwartza jest tu zbiór jednoelementowy zawierający Nashville, jako że Nashville bije wszystkie inne miasta wynikiem trzy do zera.
Na tej podstawie, Nashville wygrywa wybory.
Przykład z niejednoznacznością
Dajmy na to, że zaistniała niejednoznaczność co do popularności kandydatów: A, B, C, i D.
A > B 68%
C > A 52%
A > D 62%
B > C 72%
B > D 84%
C > D 91%
W tej sytuacji, zbiór Schwartza zawiera A, B i C, ponieważ każdy z nich bije kandydaturę D.
A > B 68%
B > C 72%
C > A 52%
Zgodnie z metodą Schulzego, opuszczamy (ang. drop) najmniejszą zaistniałą różnicę, toteż pozbywamy się: C > A i zostaje nam:
A > B 68%
B > C 72%
Nowy zbiór Schwartza to zbiór zawierający tylko A, jako że żadne miasto spoza tego zbioru nie bije A. Po tym obliczeniu A, jako element zbioru jednoelementowego, wygrywa wybory.
Podsumowanie
W powyższym (pierwszym) przykładzie wyborów metodą Schulzego, zwyciężyło miasto-kandydat Nashville. Taki wynik jest zagwarantowany metodą Condorceta[1]. W przypadku zastosowania ordynacji proporcjonalnej lub innej metody, Memphis wygrałoby jako miasto mające największą populację, pomimo tego, że Nashville wygrywa każde zestawienie w symulowanych wyborach przeprowadzonych wśród par miast. Nashville wygrywa także przy zastosowaniu metody Bordy. Za to metoda natychmiastowej dogrywki[5] w tym przypadku wskazałaby na stolicę miasto-kandydata Knoxville, pomimo tego, że więcej wyborców preferowało Nashville nad Knoxville.
Metoda Schulzego nie spełnia kryterium niezależności nieistotnych alternatyw[28]. Natomiast, cechuje ją słabsza właściwość znana jako lokalna niezależność nieistotnych alternatyw[8].
Można tę właściwość wyrazić następująco: jeżeli jeden kandydat (X) wygrywa wybory, po czym nowa alternatywa (Y) jest dodana, X wygra rozszerzone wybory, o ile Y nie jest elementem zbioru Smitha. Lokalna niezależność nieistotnych alternatyw implikuje spełnienie kryterium Condorceta.
Porównanie z innymi metodami głosowań preferencyjnych w przypadku jednego wygrywającego
Porównanie metody Schulzego z innymi metodami ordynacji preferencyjnej, w przypadku zaistnienia tylko jednego zwycięzcy:
Różnice zaistniałe pomiędzy metodą Schulzego i metodą znana po angielsku jako Ranked Pairs opisano w sekcji nr 9 artykułu autorstwa Markusa Schulzego „A New Monotonic, Clone-Independent, Reversal Symmetric, and Condorcet-Consistent Single-Winner Election Method (Part 1 of 5)”[32].
Metoda Schulzego nie jest jeszcze stosowana w wyborach rządowych. Natomiast obecnie zaczyna cieszyć się uznaniem i poparciem szeregu organizacji publicznych i społecznych. Wśród organizacji użytkujących Metodę Schulzego są następujące:
Największymi wyborami przeprowadzonymi dotychczas (wrzesień 2008) metodą Schulzego były wybory do rady Wikimedia's Board of Trustees w czerwcu 2008[70]: o jeden mandat ubiegało się 15 kandydatów, wybieranych potencjalnie przez 26 000 uprawnionych wyborców; w praktyce zgłoszono 3019 formularzy (czyli oddano tyle głosów, licząc każdego wyborcę jako jeden głos).
wybory metodą Schulzego do rady: Wikimedia's Board of Trustees, 2008:
Każda liczba przedstawia wyborców, którzy przypisali preferencję kandydatowi po lewej, wyższą od tej przypisanej przez nich kandydatowi wskazanego u góry tabeli. Liczba na zielono reprezentuje wygraną w parze przez kandydata wskazanego w tablicy w kolumnie po lewej. Liczba na czerwono reprezentuje przegraną przez kandydata wskazanego w kolumnie po lewej.
Przypisy
↑ abJean Condorcet (17 wrze 1743 – 28 mar 1794): ang. Condorcet method
↑Christopher M.Ch.M.KeltyChristopher M.Ch.M., Ramon Llull (1232-1316): Logic. Memory. Wacko., [w:] Anthropology 375/575: Abracadabra: Language and Memory in Science and Technology, Houston: Rice University, 17 marca 2003 [dostęp 2008-09-25](ang.).???
↑Dr. Scott W. Williams, Professor of Mathematics: Mathematics of the African Diaspora. Department of Mathematics, The State University of New York at Buffalo, 1997-05-25. [dostęp 2009-07-02]. Cytat: "Most histories of mathematics devote only a few pages to Ancient Egypt and to northern Africa during the 'Middle Ages´. Generally they ignore the history of mathematics in Africa south of the Sahara and give the impression that this history either did not exist or, at least, is not knowable, traceable, or, stronger still, that there was no mathematics at all south of the Sahara. In history, to Europeans, even the Africanity of Egyptian mathematics is often denied or suffers eurocentric views of conceptions of both 'history' and of 'mathematics' form the basis of such views. Contrary to the popular view, one can neither racially or geographically separate Egyptian civilization from its black African roots." (ang.).
↑Chapter 7 Numeric systems. W: Ron Eglash: African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design. Rutgers University Press, 1999, s. 100-101. ISBN 0-8135-2614-0, ISBN 978-0-8135-2614-0. Cytat: "The strong similarity of both symbolic technique and semantic categories to what Europeans termed „geomancy” was first noted by Flacourt (1661), but it was not until Trautmann (1939) that a serious claim was made for a common source for this Arabic, European, West African, and East African divination technique.The commonality was confirmed in a detailed formal analysis by Jaulin (1966). But where did it originate?
Skinner (1980) provides a well-documented history of the diffusion evidence, from the first specific written record, a ninth century Jewish commentary by Aran ben Joseph, to its modern use in Aleister Crowley's Liber 777. The oldest Arabic documents (those of az-Zanti in the thirteenth century) claim the origin of geomancy (ilm al-raml, „the science of sand”) through the Egyptian god Idris (Hermes Trismegistus), and while we need not take that as anything more than a claim to antiquity, a Nilotic influence is not unreasonable. Budge (1961) attempts to connect the use of sand in ancient Egyptian rituals to African geomancy, but it is hard to see this as unique. Mathematically, however, geomancy is strikingly out of place in non-African systems.
Like other linguistic codes, number bases tend to have an extremely long historical persistence. Even under Platonic rationalism, the ancient Greeks held 10 to be the most sacred of all numbers; the Kabbalah's Ayin Sof emanates by 10 Sefirot; and the Christian west counts on its „Hindu-Arabic” decimal notation.In Africa, on the other hand, base two calculation was ubiquitous, even for multiplication and division. And it is here that we find the cultural connotations of doubling that ground the divination practice in its religious significance.
The implications of this trajectory -- from sub-Saharan Africa, to North Africa, to Europe -- are quite significant for the history of mathematics. Following the introduction of geomancy to Europe by Hugo of Santalla in twelfth century Spain, it was taken up with great interest by the pre-science mystics of those times -- alchemists, hermeticists, and Rosicrucians (figure 7.9). But these European geomancers -- Raymond Lull, Robert Fludd, de Peruchio, Henry de Pisis and others -- persistently replaced the deterministic aspects of the system with chance. By mounting the sixteen figures on a wheel and spinning it, they maintained their society's exclusion of any connections between determinism and unpredictability. The Africans, on the other hand, seem to have emphasized such connections. In chapter 10 we will explore one source of this difference: the African concept of a “trickster” god, one who is both deterministic and unpredictable.
On a video recording I made of the Bamana divination, I noticed that the practitioners had used a shortcut method in some demonstrations (this may have been a parting gift, as the video was shot on my last day). As first taught to me, when they count off the pairs of random dashes, they link them by drawing short curves.The shortcut method then links those curves with larger curves, and those below with even larger curves.This upside-down Cantor set shows that they are not simply applying mod 2 again and again in a mindless fashion.The self-similar physical structure of the shortcut method vividly illustrates a recursive process, and as a non-traditional invention (there is no record of its use elsewhere) it shows active mathematical practice. Other African divination practices can be linked to recursion as well; for example Devisch (1991) describes the Yaka diviners' „self-generative” initiation and uterine symbolism.
Before leaving divination, there is one more important connection to mathematical history. While Raymond Lull, like other European alchemists, created wheels with sixteen divination figures, his primary interest was in the combinatorial possibilities offered by base-2 divisions. Lull's work was closely examined by German mathematician Gottfried Leibniz, whose Dissertatio de arte combinatoria, published in 1666 when he was twenty, acknowledges Lull's work as a precursor. Further exploration led Leibniz to introduce a base-2 counting system, creating what we now call the binary code. While there were many other African influences in the lives of Lull and Leibniz, it is not far-fetched to see a historical path for base-2 calculation that begins with African divination, runs through the geomancy of European alchemists, and is finally translated into binary calculation, where it is now applied in every digital circuit from alarm clocks to supercomputers.
In a 1995 interview in Wired magazine, techno-pop musician Brian Eno claimed that the problem with computers is that „they don't have enough African in them” Eno was, no doubt, trying to be complimentary, saying that there is some intuitive quality that is a valuable attribute of African culture. But in doing so he obscured the cultural origins of digital computing and did an injustice to the very concept he was trying to convey.”. (ang.).
