Równanie całkowe Fredholma

Równanie całkowe Fredholma^[1] – równanie całkowe postaci

${\displaystyle u(x)-\mu \int \limits _{\Omega }k(x,y)u(y)dy=v(x),\;x\in \Omega \;{\mbox{(Fr)}},}$

gdzie funkcje ${\displaystyle k,v}$ oraz liczba ${\displaystyle \mu }$ są ustalone natomiast funkcja ${\displaystyle u}$ jest szukana.

Zwykle o zbiorze ${\displaystyle \Omega }$ zakłada się, że jest otwartym i spójnym podzbiorem przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Funkcję ${\displaystyle k}$ nazywamy jądrem. Nakładając na jądro pewne założenia (np. co do całkowalności) można otrzymać wyniki dotyczące istnienia rozwiązań równania Fredholma. Jednym z nich jest twierdzenie Fredholma:

Niech ${\displaystyle k\in L^{2}(\Omega \times \Omega ).}$ Wówczas

• Równanie ${\displaystyle {\mbox{(Fr)}}}$ ma dla każdej prawej strony ${\displaystyle v\in L^{2}(\Omega )}$ niezerowe rozwiązanie ${\displaystyle u\in L^{2}(\Omega )}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania

${\displaystyle u(x)-\mu \int \limits _{\Omega }k(x,y)u(y)dy=0,\,({\mbox{Fr}}_{0})}$

jest funkcja tożsamościowo równa zeru.

• Jeśli ${\displaystyle ({\mbox{Fr}}_{0})}$ ma niezerowe rozwiązanie ${\displaystyle u\in L^{2}(\Omega ),}$ to istnieje również niezerowe rozwiązanie ${\displaystyle u\in L^{2}(\Omega )}$ równania

${\displaystyle u(x)-{\overline {\mu }}\int \limits _{\Omega }{\overline {k(y,x)}}u(y)dy=0,\,{\overline {({\mbox{Fr}}_{0})}},}$

ponadto, rozwiązania obu tych równań tworzą skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe o równych wymiarach.

• Jeżeli równanie ${\displaystyle ({\mbox{Fr}}_{0})}$ ma niezerowe rozwiązanie ${\displaystyle u\in L^{2}(\Omega ),}$ to równanie ${\displaystyle {\mbox{Fr}}}$ ma rozwiązanie ${\displaystyle u\in L^{2}(\Omega )}$ dla danej prawej strony ${\displaystyle v\in L^{2}(\Omega )}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }v(x){\overline {u(x)}}dx=0}$

dla każdego ${\displaystyle u\in L^{2}(\Omega )}$ spełniającego równanie ${\displaystyle {\overline {({\mbox{Fr}}_{0})}}.}$

• Zbiór wszystkich liczb ${\displaystyle \mu }$ dla których ${\displaystyle ({\mbox{Fr}}_{0})}$ ma niezerowe rozwiązanie ${\displaystyle u\in L^{2}(\Omega )}$ jest albo skończony albo tworzy ciąg ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ taki, że

${\displaystyle |\mu _{n}|\to \infty .}$

Dowód twierdzenia Fredholma opiera się całkowicie na alternatywie Fredholma oraz następującej obserwacji – jeżeli ${\displaystyle k\in L^{2}(\Omega \times \Omega )}$ oraz

${\displaystyle Au(x)=\int \limits _{\Omega }k(x,y)u(x)dy}$

dla ${\displaystyle u\in L^{2}(\Omega ),}$ to

• operator ${\displaystyle A\colon L^{2}(\Omega )\to L^{2}(\Omega )}$ jest liniowy i ciągły.
• operator ${\displaystyle A}$ jest zwarty
• operator ${\displaystyle A^{\star }}$ jest również zwarty oraz

${\displaystyle A^{\star }v(x)=\int \limits _{\Omega }{\overline {k(y,x)}}v(y)dy,\;v\in L^{2}(\Omega )}$

Nazwa równania pochodzi od nazwiska szwedzkiego matematyka Fredholma.

• równanie całkowe Abela
• równanie całkowe Volterry

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.