Wielościan foremny a. bryła platońska – wielościan, w którym:

• wszystkie ściany są przystające i foremne;
• wszystkie kąty wielościenne są równe^[1].

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).

Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):

Nazwa	Nazwa grecka	Grafika	Ściana	Liczba ścian	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków	Kąt dwuścienny
czworościan	tetraedr		trójkąt foremny (równoboczny)	4	6	4	${\displaystyle \arcsin {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 70{,}529^{\circ }}$
sześcian	heksaedr		czworokąt foremny (kwadrat)	6	12	8	${\displaystyle 90^{\circ }.}$
ośmiościan	oktaedr		trójkąt foremny (równoboczny)	8	12	6	${\displaystyle 2\arcsin {\frac {\sqrt {6}}{3}}\approx 109{,}471^{\circ }}$
dwunastościan	dodekaedr		pięciokąt foremny	12	30	20	${\displaystyle \arccos {(}{-}{\frac {\sqrt {5}}{5}}{)}\approx 116{,}565^{\circ }}$
dwudziestościan	ikosaedr		trójkąt foremny (równoboczny)	20	30	12	${\displaystyle \arccos {(}{-}{\frac {\sqrt {5}}{3}}{)}\approx 138{,}189^{\circ }}$

Pierwszy z dowodów opiera się na analizie łącznej liczby kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.

Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:

${\displaystyle W+S=K+2,}$

gdzie ${\displaystyle W}$ oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, ${\displaystyle S}$ liczbę jego ścian, a ${\displaystyle K}$ liczbę krawędzi.

Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy

${\displaystyle S\cdot n=2K.}$

Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi ${\displaystyle l}$ krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem

${\displaystyle W\cdot l=2K.}$

Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności ${\displaystyle W}$ i ${\displaystyle S}$

${\displaystyle W={\frac {2K}{l}};S={\frac {2K}{n}}}$

i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy

${\displaystyle {\frac {2K}{l}}+{\frac {2K}{n}}=K+2.}$

Przekształcając otrzymamy kolejno

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{K}}>{\frac {1}{2}},}$

oraz

${\displaystyle (n-2)(l-2)<4.}$

Ponieważ ${\displaystyle l\geqslant 3}$ oraz ${\displaystyle n\geqslant 3,}$ przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:

${\displaystyle (n-2)\cdot (l-2)}$	${\displaystyle n}$	${\displaystyle l}$	nazwa
1·1	3	3	czworościan foremny
2·1	4	3	sześcian
1·2	3	4	ośmiościan foremny
1·3	3	5	dwudziestościan foremny
3·1	5	3	dwunastościan foremny

Oczywiście znając ${\displaystyle n,l}$ można wyznaczyć ${\displaystyle W,K,S,}$ korzystając ze wzoru Eulera i zależności ${\displaystyle S\cdot n=2K}$ oraz ${\displaystyle W\cdot l=2K.}$

Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle l.}$

Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon, pisząc Timajosa, nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa^[a] (ucznia Platona).

Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień – czworościan, ziemia – sześcian, powietrze – ośmiościan, woda – dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata^[2].

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan, a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian – Saturn^[b]. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej, oznaczanej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Udowodniono, że dla n=4 , że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:

Dla dowolnego naturalnego ${\displaystyle n>4}$ udowodniono, że w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne^[3]:

Nazwa	Liczba (n-1)-wymiarowych ścian	Liczba k-wymiarowych ścian, 0≤k≤n-1	Wielokomórka dualna
n-wymiarowy sympleks foremny	${\displaystyle n+1}$ (n-1)-wymiarowych sympleksów	${\displaystyle n+1 \choose k+1}$ k-wymiarowych sympleksów	samodualna
n-wymiarowy hipersześcian	${\displaystyle 2n}$ (n-1)-wymiarowych hipersześcianów	${\displaystyle {n \choose k}2^{n-k}}$ k-wymiarowych hipersześcianów	2n-komórka
n-wymiarowa 2n-komórka foremna	${\displaystyle 2^{n}}$ (n-1)-wymiarowych sympleksów	${\displaystyle {n \choose k+1}2^{k+1}}$ k-wymiarowych sympleksów	hipersześcian

Ponadto, uogólnione objętości i powierzchnie powyższych trzech wielokomórek foremnych to funkcje holomorficzne wymiaru zespolonego ${\displaystyle n\in \mathbb {C} }$. Wielokomórki te są zatem zdefiniowane w każdym wymiarze^[4].

Można też rozpatrywać przypadki ${\displaystyle n<3.}$ „Wielokomórka” w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego ${\displaystyle \ell \geqslant 3}$ istnieje ${\displaystyle \ell }$-kąt foremny. Z kolei „wielokomórka” w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt – to odcinek i można go traktować jako „foremny”.

• węglowodory platońskie

Zobacz hasło bryła platońska w Wikisłowniku

Zobacz multimedia związane z tematem: Wielościan foremny

• Grażyna Kiełczykowska, Bryły platońskie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-20].
• KarolK. Gryszka KarolK., Czego jeszcze nie wiedzieliśmy o bryłach platońskich?, „Delta”, czerwiec 2020, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Platonic Solid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-18].