Composição de funções

Em matemática, uma função composta é criada aplicando uma função à saída, ou resultado, de uma outra função, sucessivamente. Como uma função deve possuir um domínio e contradomínio bem definidos e estamos falando de aplicar funções mais de uma vez, devemos ser precisos com relação a como estamos aplicando estas funções.

Seja:

${\displaystyle f:A\rightarrow B}$

e

${\displaystyle g:C\rightarrow D;\quad B\subset C}$

duas funções, Se o domínio de g contiver a imagem de f, podemos definir a função composta:

${\displaystyle g\circ f:A\rightarrow D}$

como:

${\displaystyle g\circ f(x)=g(f(x));\quad \forall x\in A}$

Isto é ilustrado na figura abaixo:

Pode-se então estender a definição para a composição de três ou mais funções, de maneira análoga. Sejam

${\displaystyle f:A\rightarrow B{\mbox{, }}g:B\rightarrow C{\mbox{ e }}h:C\rightarrow D}$.

É fácil mostrar que:

${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)\,}$

Por transitividade e associatividade, define-se a função composta:

${\displaystyle h\circ g\circ f:A\rightarrow D}$

como:

${\displaystyle (h\circ g\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))\quad \forall \ x\in A}$

De uma forma geral, basta a imagem ${\displaystyle f(A)}$ estar contida no domínio de g para podermos definir a função composta ${\displaystyle g\circ f}$ (a definição rigorosa seria uma composição com a função inclusão).

Seja ${\displaystyle f:A\rightarrow A\,}$. Neste caso, pode-se definir ${\displaystyle f\circ f\,}$, ${\displaystyle f\circ f\circ f\,}$, etc. Pode-se portanto definir ${\displaystyle f^{n}\,}$ (por indução: ${\displaystyle f^{n}\circ f=f\circ f^{n}=f^{n+1}\,}$) para ${\displaystyle n\geq 2\,}$. Definindo-se:

${\displaystyle f^{0}={\mbox{Id}}_{A}\,}$

${\displaystyle f^{1}=f\,}$

Chega-se facilmente a:

${\displaystyle f^{n}\circ f^{m}=f^{n+m}\,}$

Eventualmente, conforme a estrutura do conjunto A e da função f, é possível estender a definição de ${\displaystyle f^{n}\,}$ para n inteiro (ou mesmo outros superconjuntos dos naturais).

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