A família de todos os subconjuntos de um conjunto dado
A
{\displaystyle A}
conjunto de partes (ou conjunto potência ) de
A
{\displaystyle A}
P
(
A
)
{\displaystyle P(A)}
2
A
{\displaystyle 2^{A}}
[ 1]
Exemplo
Diagrama de Hasse das inclusões entre os subconjuntos de S .Se S é o conjunto de três elementos {x , y , z } a lista completa de subconjuntos de S é:
{ } (o conjunto vazio );
{x };
{y };
{z };
{x , y };
{x , z };
{y , z };
{x , y , z }; e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 elementos:
P (S ) = {{ }, {x }, {y }, {z }, {x , y }, {x , z }, {y , z }, {x , y , z }}.
Cardinalidade
O número de elementos do conjunto de partes de S é sempre maior que o número de elementos de S , mesmo no caso de S ter um número infinito de elementos .
Se S tem n elementos, pode-se provar que P(S) tem
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
S ser um conjunto infinito , define-se
2
|
S
|
=
|
P
(
S
)
|
{\displaystyle 2^{|S|}=|P(S)|}
ℵ ℵ -->
0
=
|
N
|
{\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |}
2
ℵ ℵ -->
0
=
|
R
|
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=|\mathbb {R} |}
A hipótese do continuum especula se existe algum conjunto entre
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
P
(
N
)
{\displaystyle P(\mathbb {N} )}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
P
(
N
)
{\displaystyle P(\mathbb {N} )}
Teoria dos Conjuntos
Na Teoria dos Conjuntos , em particular na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel , existe um axioma cuja finalidade é garantir a existência do conjunto das partes : o axioma da potência .
