Forma modular

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Em matemática, uma forma modular é uma função analítica (complexa)^{[nota 1]} sobre o semiplano superior satisfazendo um certo tipo de equação funcional e condição de crescimento. A teoria das formas modulares entretanto pertence à análise complexa mas a principal importância da teoria tem tradicionalmente sido suas conexões com a teoria dos números. Formas modulares surgem em outras áreas, tais como topologia algébrica e teoria das cordas.

Uma função modular é uma forma modular de peso 0: é invariante ante o grupo modular, em vez de transformar-se na forma prescrita, e portanto é uma função modular na região modular.

A teoria da forma modular é um caso especial da teoria mais geral das formas automórficas e portanto pode ser considerada como a parte mais concreta da ampliada teoria de grupos discretos.

Uma forma modular pode ser entendida como uma função F do conjunto de períodos Λ em C do conjunto de números complexos o qual satisfaz certas condições:

(1) Se nós considerarmos o retículo ${\displaystyle \Lambda =\langle \alpha ,z\rangle }$ gerado por uma constante α e uma variável z, então F(Λ) é uma função analítica de z.

(2) Se α é um número complexo não nulo e αΛ é o retículo obtido pela multiplicação de cada elemento de Λ por α, então F(αΛ) = α^−kF(Λ) onde k é a constante (tipicamente um inteiro positivo) chamado de peso da forma.

(3) O valor absoluto de F(Λ) mantem-se limitado acima assim como o valor absoluto do menor elemento não nulo em Λ é limitado além de 0.

Quando k = 0, a condição 2 implica que F depende somente da similaridade da classe do retículo. Isto é um caso especial muito importante, mas somente as formas modulares de peso 0 são as constantes. Se nós eliminarmos a condição 3 e permitir que a função tenha pólos, então os exemplos com peso 0 existem: elas são chamadas funções modulares.

A situação pode ser produtiva comparada aquela que surge na busca por funções sobre o espaço projetivo P(V): nesse cenário, seria ideal como funções F sobre o espaço vetorial V as quais são polinomiais nas coordenadas de v≠ 0 em V e satisfaz a equação F(cv) = F(v) para todo c não nulo. Infelizmente, tais funções são as únicas constantes. Se permitirmos que denominadores (funções racionais em vez de polinômios), nós podemos fazer F ser a razão de dois polinômios homogêneos do mesmo grau. Alternativamente, nós podemos tratar a questão com polinômios e tornar mais livre a dependência sobre c, deixando F(cv) = c^kF(v). As soluções são então os polinômios homogêneos de grau k. Por um lado, estes formam um espaço vetorial finito para cada k, e noutra, se nós fizermos k variar, nós podemos encontar os numeradores e denominadores para a construção de todas as funções racionais as quais são realmente funções sobre o espaço projetivo P(V) subjacente.

Poderia ser perguntado, já que polinômios homogêneos não são realmente funções sobre P(V), o que eles seriam, geometricamente falando. A resposta dentro da geometria algébrica é que eles são seções de um feixe (poderia ser também dito um fibrado de linhas neste caso). A situação com formas modulares é precisamente análoga.

Cada retículo Λ em C determina uma curva elíptica C/Λ sobre C; dois retículos determinam curvas elípticas isomórficas se e somente se uma é obtida da outra por multiplicação por algum α. Funções modulares podem ser entendidas como funções sobre o espaço de módulos de classes de isomorfismo de curvas elípticas complexas. Por exemplo, o j-invariante de uma curva elíptica, considerado como uma função sobre o conjunt de todas as curvas elípticas, é modular. Formas modulares podem também ser aproximadas de maneira prática de sua direção geométrica, como seções de fibrados de linhas sobre o espaço de módulos de curvas elípticas.

Converter uma forma modular F em uma função de uma única variável complexa é fácil. Faz-se z = x + iy, onde y > 0, e faz-se f(z) = F(<1, z>). (Não pode-se considerar y = 0 porque então 1 e z não irão gerar um retículo, por isso restringe-se para o caso que y é positivo.) A condição 2 sobre F agora torna-se a equação funcional

${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$

para a, b, c, d inteiros com ad − bc = 1 (o grupo modular). Por exemplo,

${\displaystyle f(-1/z)=F(\langle 1,-1/z\rangle )=z^{k}F(\langle z,-1\rangle )=z^{k}F(\langle 1,z\rangle )=z^{k}f(z).}$

Funções as quais satisfazem a equação funcional modular para todos as matrizes em um índice de um subgrupo finito de SL₂(Z) são também consideradas como modulares, normalmente com um qualificador indicando o grupo. Então formas modulares de nível N (ver abaixo) satisfazem a equação funcional para matrizes congruentes para a matrix identidade de módulo N (frequentemente fato para um grupo maior dado por condições (mod N) sobre os elementos da matriz.)

Em matemática, funções modulares são certos tipos de funções matemáticas mapeando números complexos a números complexos. Existem um número de outros usos do termo "função modular" também; ver abaixo para detalhes.

Formalmente, uma função f é chamada modular ou uma função modular se e somente se ela satisfaz as seguintes propriedades:

1. f é meromórfica no Meio plano superior aberto H.
2. Para cada matriz M no grupo modular Γ, f(Mτ) = f(τ).
3. A série de Fourier de f tem a forma

${\displaystyle f(\tau )=\sum _{n=-m}^{\infty }a(n)e^{2i\pi n\tau }.}$

É limitada em baixo; é um polinômio de Laurent em ${\displaystyle e^{2i\pi \tau }}$, então é meromórfica na cúspide (singularidade). Pode-se mostrar que cada função modular pode ser expressa como uma função racional of invariante absoluto de Klein j(τ), e que cada função racional de j(τ) é uma função modular; além disso, todas as funções modulares analíticas são formas modulares, embora o inverso não seja mantida. Se uma função modular f não é identicamente 0, então nós podemos mostrar que o número de zeros de f é igual ao número de polos de f no fechamento do domínio fundamental R_Γ.

Existe um número de outros usos do termo função modular, além deste clássico; por exemplo, na teoria de medidas de Haar, é uma função Δ(g) determinada pela ação conjugação.

Notas

• Jean-Pierre Serre: A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Chapter VII fornece uma introdução eementar à teoria das formas modulares.
• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
• Goro Shimura: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Fornece um tratamento mais avançado.
• Stephen Gelbart: Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. Fornece uma introdução a forms modulares do pont de vista da teoria da representação.
• Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
• Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators ×10^{{{1}}}
• Erich Hecke: "Mathematische Werke" , Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
• NP Skoruppa, D Zagier Jacobi forms and a certain space of modular forms, Inventiones Mathematicae, 1988, Springer

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