Função de covariância

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Função de covariância, ou simplesmente covariância, refere-se, no campo da geoestatística a uma medição da continuidade espacial de dado fenómeno à semelhança do seu análogo variograma. Pretende assim estudar a variabilidade de uma variável re-amostrando uma população para conter apenas os pares de pontos que se encontrem a uma dada distância ${\displaystyle h}$. É utilizada especialmente em estudos onde se justifique um variograma experimental (método gráfico que considera o valor de variograma ou semi-variograma para várias distâncias) calculando a covariância directamente ou a partir do valor do variograma.

O estimador de covariância não centrada é dado pela média do produto de amostras que se encontram à distância de ${\displaystyle h}$ (Soares, 2006)^[1]:

${\displaystyle C'(h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}[Z(x_{\alpha })Z(x_{\alpha }+h)]\quad }$

Para obter o estimador centrado precisamos subtrair o produto das médias das amostra que se encontrem nos pares distânciados por ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle C'(h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}[Z(x_{\alpha })Z(x_{\alpha }+h)-m(x_{\alpha })m(x_{\alpha }+h)]\quad }$

Onde:

${\displaystyle m(x_{\alpha })={\frac {1}{N(h)}}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}Z(x_{\alpha })\quad }$

e,

${\displaystyle m(x_{\alpha }+h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}Z(x_{\alpha }+h)\quad }$

A função covariância está directamente ligada com o variograma no qual sabendo que a covariância centrada é dada por:

${\displaystyle C(h)=E[Z(x)Z(x+h)]-E[Z(x)]E[Z(x+h)]\quad }$

e que o variograma é dado por:

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2}}E[(Z(x)-Z(x+h))^{2}]\quad }$

Assumindo que a média é igual para todas as populações ${\displaystyle Z(x)}$ e ${\displaystyle Z(x)}$ (portanto uma função aleatória estacionária, conceito generalizado da série estacionária):

${\displaystyle C(h)=E[Z(x)Z(x+h)]-E[Z(x)]^{2}\quad }$

Se desenvolvermos os termos do quadrado do variograma ficamos com:

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2}}\{E[Z(x)]^{2}+E[Z(x+h)]^{2}-2E[Z(x)Z(x+h)]\}\quad }$

Mais uma vez admitindo a estacionariedade das populações ficamos com:

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2}}\{E[Z(x)]^{2}-E[Z(x)Z(x+h)]\}\quad }$

Subtraindo ${\displaystyle m^{2}}$ a cada um dos termos:

${\displaystyle \gamma (h)-m^{2}=E[Z(x)]^{2}-E[Z(x)Z(x+h)]-m^{2}\quad }$

${\displaystyle \gamma (h)=E[Z(x)]^{2}-m^{2}-E[Z(x)Z(x+h)]+m^{2}\quad }$

${\displaystyle \gamma (h)=E[Z(x)]^{2}-m^{2}-(E[Z(x)Z(x+h)]-m^{2})\quad }$

deduz-se que:

${\displaystyle \gamma (h)=-(E[Z(x)Z(x+h)]-m^{2})=-C(h)\quad }$

da qual para evitar ajustes com patamar, ${\displaystyle C(0)}$, negativo se utiliza a expressão:

${\displaystyle \gamma (h)=C(0)-C(h)\quad }$

Por esse motivo se nota, no formato gráfico, a covariância ser o exacto oposto do variograma:

Em geoestatística são usadas habitualmente três funções para estudar a variabilidade espacial da amostragem que são: covariância, correlograma, e semi-variograma (comumente designado variograma). Na hipótese de estacionaridade da variável, as três funções são equivalentes: deduzem-se umas a partir das outras e dão a mesma informação sobre o comportamento espacial da variável. A figura seguinte mostra o variograma experimental, covariância e correlograma para o mesmo conjunto de dados:

• Variograma
• Função correlograma
• Variograma cruzado
• Variograma de indicatriz

Referências