Modelo de Watts e Strogatz

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Ciência da Rede
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Grafos
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Modelos
Grafo Aleatório Erdös–Rényi Barabási–Albert Watts–Strogatz Exponencial Aleatório (ERGM) Epidemia Hierárquica
Categorias
Teoria dos grafos Teoria das redes complexas
v d e

O modelo de Watts-Strogatz é um modelo aleatório de geração de grafos que produz grafos com propriedades de pequeno mundo, incluindo comprimentos de trajeto médios curtos e alto clustering. Foi proposto por Duncan J. Watts e Steven Strogatz no seu artigo da Nature em 1998^[1]. O modelo também ficou conhecido como modelo beta depois de Watts usar β para formulá-lo no seu famoso livro científico: "Six Degrees: The Science of a Connected Age".

O estudo formal de grafos aleatórios remonta ao trabalho de Paul Erdös e Alfred Rényi. Os grafos que eles consideraram, agora conhecidos como grafos clássicos ou Erdös-Rényi (ER), oferecem um modelo simples e poderoso, com muitas aplicações.

No entanto, os grafos de ER não têm duas propriedades importantes observadas em muitas redes do mundo real:

1. Eles não geram aglomeração local e encerramentos triádicos. Em vez disso, porque eles têm uma probabilidade constante, aleatória, e independente de dois nós serem ligados, grafos ER têm um coeficiente de clustering baixo.
2. Eles não contam para a formação de hubs. Formalmente, a distribuição grau de grafos ER converge para uma distribuição de Poisson, em vez de uma lei de potência observada muitas vezes no mundo real, em redes scale-free.

O modelo de Watts e Strogatz foi concebido como o modelo mais simples e possível que elimina a primeira das duas limitações. É responsável pelo agrupamento, mantendo os comprimentos médios de caminho curto do modelo ER. Fá-lo por interpolação entre um grafo de ER e uma rede de anel regular. Consequentemente, o modelo é capaz de explicar, pelo menos em parte, os fenómenos de "pequeno mundo", numa variedade de redes, como a rede elétrica, a rede neural de C. elegans e uma rede de atores do filme.

Dado o número desejado de N nós, o grau médio K (assumido como sendo um inteiro par) e um especial de parâmetro β, satisfazendo 0 ≤ β ≤ 1 e N ≫ K ≫ ln(N) ≫ 1, o modelo constrói um grafo não direcionado com N nós e ${\displaystyle {\frac {NK}{2}}}$ arestas da seguinte forma:

1. Construir uma estrutura de anel comum, um grafo com N nós cada um ligado a K vizinhos, K/2 em cada lado. Isto é, se os nós são rotulados ${\displaystyle n_{0}\ldots n_{N-1}}$, existe uma aresta ${\displaystyle (n_{i},n_{j})}$ se e só se ${\displaystyle 0<|i-j|\mod {(}N-1-{\frac {K}{2}}{)}\leq {\frac {K}{2}}}$.
2. Para cada nó ${\displaystyle n_{i}=n_{0},\dots ,n_{N-1}}$ ter cada aresta ${\displaystyle (n_{i},n_{j})}$ com i < j, e voltar a ligar com probabilidade β. A religação é feito através da substituição ${\displaystyle (n_{i},n_{j})}$ com ${\displaystyle (n_{i},n_{k})}$ onde k é escolhido com probabilidade uniforme de todos os valores possíveis que evitem a laços independentes (k ≠i) e hiperligar a duplicação (não há aresta (${\displaystyle (n_{i},n_{k'})}$ com k' = k neste momento no algoritmo).

A estrutura de rede subjacente do modelo produz uma rede de cluster no local, e os links aleatórios reduzem drasticamente os comprimentos médios de caminho. O algoritmo apresenta-se sobre ${\displaystyle \beta {\frac {NK}{2}}}$ arestas não treliçadas. Variando β torna possível interpolar entre uma rede regular (β = 0) e um grafo aleatório (β = 1) aproximando-se do grafo aleatório Erdös-Rényi ${\displaystyle G(n,p)}$ com n=N e ${\displaystyle p={\frac {NK}{2{N \choose 2}}}}$.

As três propriedades de interesse são o caminho médio, o coeficiente de clustering, e a distribuição de grau.

Para um anel de treliça a duração média de caminho é ${\displaystyle l(0)=N/2K\gg 1}$ e escala linearmente com o tamanho do sistema. No caso limite de β →1 o grafo converge para um grafo aleatório clássico com ${\displaystyle l(1)={\frac {\ln {N}}{\ln {K}}}}$. No entanto, na região intermédia 0 < β <1 o comprimento do caminho médio cai muito rapidamente com o aumento β, aproximando-se rapidamente do seu valor limite.

Para o anel treliça o coeficiente de clustering ${\displaystyle C(0)={\frac {3(K-2)}{4(K-1)}}}$, e assim tende a ${\displaystyle 3/4}$, de forma que K cresce, independentemente do tamanho do sistema. No caso limite de β→1 o coeficiente de clustering atinge o valor para grafos aleatórios clássicos, ${\displaystyle C(1)=K/N}$ e é assim inversamente proporcional ao tamanho do sistema. Na região intermediária do coeficiente de clustering continua muito perto do seu valor para a rede regular, e só desce relativamente ao β alto. Isso resulta numa região onde o caminho médio desce rapidamente, mas o coeficiente de clustering não, explica-se o fenómeno de "pequeno mundo".

Se utilizar a medida Barrat e Weigt para o clustering ${\displaystyle C'(\beta )}$ definida como a fracção entre a média do número de arestas entre os vizinhos de um nó e o número médio de possíveis arestas entre estes vizinhos ou, alternativamente,

${\displaystyle C'(\beta )\equiv {\frac {3\times {\mbox{number of triangles}}}{\mbox{number of connected triples}}}}$

então temos ${\displaystyle C'(\beta )\sim C(0)\left(1-\beta \right)^{3}.}$

O grau de distribuição, no caso da estrutura de anel é apenas uma função delta de Dirac centrada em K. No caso limite de β→1 é a distribuição de Poisson, como com os grafos clássicos. A distribuição grau para 0 < β < 1 pode ser escrita como:

${\displaystyle P(k)=\sum _{n=0}^{f\left(k,K\right)}C_{K/2}^{n}\left(1-\beta \right)^{n}\beta ^{K/2-n}{\frac {(\beta K/2)^{k-K/2-n}}{\left(k-K/2-n\right)!}}e^{-\beta K/2}}$

onde ${\displaystyle k_{i}}$ é o número de arestas que o nó possui ${\displaystyle i^{th}}$ ou a sua gravidade. Aqui ${\displaystyle k\geq K/2}$, e ${\displaystyle f(k,K)=\min(k-K/2,K/2)}$. A forma do grau de distribuição é semelhante à de um grafo aleatório e tem um pico pronunciado em k=K e decai exponencialmente para ${\displaystyle |k-K|}$. A topologia da rede é relativamente homogénea, e todos os nós têm mais ou menos o mesmo grau.

A principal limitação do modelo é que ele produz uma distribuição de grau irrealista. Em contraste, as redes reais são muitas das vezes redes scale-free heterogéneas em grau, com “hubs” e um grau de distribuição de scale-free. Essas redes são melhor descritas quando o respeito pela família de modelos de fixação preferencial, como o modelo Barabási-Albert (BA). (Por outro lado, o modelo de Barabási-Albert não consegue produzir os altos níveis de clustering visto em redes reais, uma lacuna não compartilhada pelo modelo de Watts e Strogatz. Assim, nem o modelo de Watts e Strogatz nem o modelo Barabási-Albert deveriam ser considerados como totalmente realista.)

O modelo de Watts e Strogatz também implica um número fixo de nós e, portanto, não pode ser utilizado para moldar o crescimento da rede.