Regra do quociente

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Em matemática, a regra do quociente (ver derivada), rege a diferenciação de quocientes de funções diferenciáveis.

Pode ser apresentada como:

$${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {gf'-fg'}{g^{2}}}}$$

ou, segundo a notação de Leibniz:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}.}$$

Demonstração:

$${\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}\ (I)}$$

Então ${\displaystyle u(x)=f(x)\cdot v(x)}$

Pela regra do produto:

$${\displaystyle u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)\ (II)}$$

Utilizando (I) e (II), temos:

$${\displaystyle u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot v'(x)}$$

$${\displaystyle u'(x)={\frac {f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}{v(x)}}}$$

$${\displaystyle u'(x)\cdot v(x)=f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}$$

$${\displaystyle u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)=f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)}$$

$${\displaystyle {\frac {u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v(x)^{2}}}=f'(x)}$$

$${\displaystyle f'(x)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}}$$

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