Гиперкуб

Гиперку́б — обобщение куба на случай с произвольным числом измерений.

Гиперкубом размерности Ν называется множество точек в Ν-мерном евклидовом пространстве, удовлетворяющее неравенствам $\forall i:-{\frac {a}{2}}<x_{i}<{\frac {a}{2}}$ , где $a$ — длина ребра гиперкуба.

Также можно определить гиперкуб как декартово произведение Ν равных отрезков.

Также можно сказать, что Ν-куб — это фигура, каждая вершина которой связана рёбрами с Ν другими вершинами; Ν, в свою очередь, определяет размерность этой фигуры. Или же, Ν-мерный куб образуется Ν парами параллельных (Ν-1)-плоскостей, то есть имеет 2Ν гиперграни, каждая из которых является (Ν-1)-кубом.

В общем случае, число K‑мерных граней Ν‑мерного куба равно ${2}^{N-K}C_{N}^{K}$ , где $C_{N}^{K}$ есть число групп K‑мерных параллельных граней (или число K‑мерных граней при одной вершине), ${2}^{N-K}$ — число K‑мерных параллельных граней в группе.

Свойства гиперкуба

Свойство	Значение
Длина ребра	a
Размерность	N
Гиперобъём	$V_{N}=a^{N}$
Гиперплощадь поверхности	$S_{N}=2Na^{N-1}$
Длина диагонали	$L_{N}=a{\sqrt {N}}$
Радиус описанной гиперсферы	$R={\frac {a{\sqrt {N}}}{2}}$
Радиус вписанной гиперсферы	$r={\frac {a}{2}}$

Различные гиперкубы

N-Куб	Название	Точек (0)	Отрезков (1)	Квадратов (2)	Кубов (3)	Тессерактов (4)	Пентерактов (5)	Хексерактов (6)	Хептерактов (7)	Октерактов (8)	Эннерактов (9)	Декерактов (10)
0-куб	Точка	1	0
1-куб	Отрезок	2	1	0
2-куб	Квадрат	4	4	1	0
3-куб	Куб	8	12	6	1	0
4-куб	Тессеракт	16	32	24	8	1	0
5-куб	Пентеракт	32	80	80	40	10	1	0
6-куб	Гексеракт	64	192	240	160	60	12	1	0
7-куб	Гептеракт	128	448	672	560	280	84	14	1	0
8-куб	Октеракт	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1	0
9-куб	Эннеракт	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1	0
10-куб	Декеракт	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1