Интеграл Даниеля

Интеграл Даниеля — одно из обобщений интеграла Римана, альтернативное понятию интеграла Лебега.

В сравнении с интегралом Лебега, интеграл Даниеля не требует предварительной разработки подходящей теории меры, за счёт чего имеет определённые преимущества, особенно в функциональном анализе при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стилтьеса). Конструкции Лебега и Даниеля эквивалентны, если рассматривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу, тогда как интеграл Даниеля строится в этих случаях относительно просто.

Предложен английским математиком Перси Джоном Даниелем в 1918 году^[1].

Основная идея состоит в обобщении понятия интеграла, исходя о представлении о нём как о функционале. Рассмотрим семейство ${\displaystyle H}$ ограниченных вещественнозначных функций (называемых элементарными функциями), определённых на пространстве ${\displaystyle X}$, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Если ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in H}$, то ${\displaystyle f_{1}+f_{2}\in H}$.
2. Если ${\displaystyle f\in H}$, то ${\displaystyle cf\in H}$, где ${\displaystyle c}$ — действительное число.
3. Если ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in H}$, то ${\displaystyle \max(f_{1},f_{2})\in H}$ и ${\displaystyle \min(f_{1},f_{2})\in H}$.

На классе ${\displaystyle H}$ задан функционал ${\displaystyle U(f)}$, обладающий следующими свойствами:

1. ${\displaystyle U(f_{1}+f_{2})=U(f_{1})+U(f_{2})}$.
2. ${\displaystyle U(cf)=cU(f)}$.
3. Если ${\displaystyle f_{1}\geqslant f_{2}\geqslant f_{3}\geqslant ...}$ и ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=0}$, то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }U(f_{n})=0}$ (свойство Лебега).
4. ${\displaystyle U(f)\geqslant 0}$, если ${\displaystyle f\geqslant 0}$^[2]

В этих терминах можно определить множества меры нуль. Множество ${\displaystyle Z}$, являющееся подмножеством ${\displaystyle X}$, имеет меру нуль, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций ${\displaystyle h_{p}(x)\in H}$ такая, что ${\displaystyle Ih_{p}<\varepsilon }$ и ${\displaystyle \sup _{p}h_{p}(x)\geqslant 1}$ на ${\displaystyle Z}$.

Если некоторое условие выполняется на ${\displaystyle X}$ везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.

Рассмотрим множество ${\displaystyle L^{+}}$, состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей ${\displaystyle \{h_{n}\}}$ элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов ${\displaystyle Ih_{n}}$ ограничено. Интеграл функции ${\displaystyle f\in L^{+}}$ по определению равен:

${\displaystyle If=\lim _{n\to \infty }Ih_{n}.}$

Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности ${\displaystyle \{h_{n}\}}$.

С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Риса — Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Даниеля. Если взять характеристическую функцию ${\displaystyle \chi (x)}$ некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.

• Интеграл Лебега — Стилтьеса

• Daniell, P. J., 1919, «Integrals in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 20: 281-88.
• Daniell, P. J., 1919, «Functions of limited variation in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 21: 30-38.
• Daniell, P. J., 1920, «Further properties of the general integral», Annals of Mathematics 21: 203-20.
• Daniell, P. J., 1921, «Integral products and probability», American Journal of Mathematics 43: 143-62.
• Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
• Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука, 1966. — 202 с.
• Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера, производная. — М.: Наука, 1967.