Начал карьеру в 2008 го]у в составе клуба чешской Экстралиги «Пльзень», выступая до этого за его фарм-клуб, а также юниорский состав родного ХК «Писек». В своём дебютном сезоне Ян провёл на площадке 61 матч, отметившись 16 (4+12) результативными баллами. В следующем году Коварж стал самым результативным молодым хоккеистом чешского первенства, набрав 20 (5+15) очков в 44 встречах.
В сезоне 2010/11 Ян сумел стать третьим бомбардиром команды с 40 (19+21) очками в 54 матчах. Более того, в том же году, находясь в аренде в клубе Первой лиги «Слован Устечти Льви», он помог новому коллективу стать победителем турнира. Сезон 2011/12 принёс Коваржу первые национальные награды — бронзовые медали Экстралиги. Сам же игрок вновь стал одним из лучших в составе «Пльзеня», записав на свой счёт 59 (20+39) результативных баллов в 64 играх.
Уже на следующий год игрокам «Пльзеня» удалось, наконец, стать чемпионами страны, а сам Ян был признан лучшим хоккеистом как регулярного сезона, так и плей-офф Экстралиги, в 72 матчах отметившись 77 (28+49) набранными очками.
Летом 2018 года Коварж перебрался за океан, пробовал закрепиться в клубах НХЛ «Нью-Йорк Айлендерс» и «Бостон Брюинз», но так и не сыграл за них ни одного матча, выступая в АХЛ за «Провиденс Брюинз». В начале декабря 2018 года вернулся в Европу, подписав контракт с пльзеньской «Шкодой»[6]. 7 декабря 2018 года провёл свой первый матч за «Пльзень» после возвращения, забросив решающую шайбу в серии послематчевых буллитов помог своей команде одержать победу со счётом 2:1 над клубом «Литвинов»[7]. 11 декабря 2018 года в матче 1/4 финала Лиги чемпионов против шведского клуба «Шеллефтео» вновь стал автором решающей шайбы в серии буллитов, тем самым впервые в истории вывел «Пльзень» в полуфинал Лиги чемпионов[8]. 20 декабря было объявлено о том, что Ян Коварж будет играть за «Шкоду» до конца сезона 2018/19[9].
18 июня 2019 года подписал однолетний контракт со швейцарским клубом «Цуг»[10]. В 2021 году выиграл чемпионат Швейцарии в составе «Цуга», став при этом лучшим бомбардиром регулярного чемпионата и плей-офф.
В сборной
В составе сборной Чехии принимал участие в первом дивизионе юниорского чемпионата мира 2008 года, на котором он вместе с командой заработал повышение в классе, в 5 проведённых матчах набрав 8 (1+7) очков. Был членом молодёжной сборной на чемпионате мира 2010 года, где отметился 6 (3+3) результативными баллами в 6 встречах.
На взрослом уровне дебютировал за сборную на чемпионате мира 2013 года, не сумев набрать очков в 6 матчах. С сезона 2009/10 регулярно вызывается в сборную для участия в матчах Еврохоккейтура. Является участником пяти чемпионатов мира (2013—2017 годов) и Олимпийских игр 2018 года.
В первом матче Коваржа за сборную после возвращения из-за океана, он сделал хет-трик и помог чешской команде победить сборную Швеции со счётом 5:2[11].
Сборная Чехии стала победителем шведских хоккейных игр 2019 года, а сам Ян Коварж был признан лучшим хоккеистом турнира[12]. В том же, 2019 году, Коварж вновь отличился на этапе Евротура в Финляндии, его признали лучшим нападающим Кубка Карьяла[13].
