Куба был выбран «Флоридой Пантерз» в 8-м раунде Драфта НХЛ 1995 года под общим 192-м номером. Тот сезон он провёл за молодёжную команду ХК «Витковице». После драфта он остался в Чехии ещё на один сезон, который провёл за основной состав команды.
В первых четырёх сезонах после переезда за океан он в основном играл в низших североамериканских лигах, проведя за это время всего 18 игр в НХЛ и набрав 7 очков (1+6). 16 марта 2000 года был обменян в «Калгари Флэймз» на Роки Томпсона, а позже «Калгари» обменяли его в «Миннесоту Уайлд» на выбор на драфте.
В первом сезоне за «Миннесоту» Куба набрал 30 очков (9+21) в 75 играх. В сезоне 2002-03 «Уайлд» дошли до полуфинала Кубка Стэнли, а Куба в первом для себя плей-офф НХЛ набрал 8 очков (3+5) в 18 играх, что стало его личным рекордом. На момент ухода из «Миннесоты» был лидером по количеству очков среди всех защитников, выступавших за этот клуб — 132 очка (33+99) в 357 играх. Позже этот рекорд побил Брент Бёрнс. Во время выступлений за «Уайлд» дважды назначался капитаном — в ноябре 2001 и ноябре 2005 годов. Участвовал в Матче всех звёзд НХЛ 2004 года вместе с одноклубником Дуэйном Ролосоном.
25 октября 2008 года в матче против «Торонто Мейпл Лифс» Куба побил рекорд НХЛ среди защитников, набирая как минимум одно очко в каждом из первых 8 матчей сезона. Прежний рекорд принадлежал Брэду Парку, он набирал очки в 7 матчах.
1 июля 2012 года Куба вернулся в «Флориду Пантерз» — команду, которой был выбран на драфте НХЛ 1995 года, подписав двухлетний контракт на 8 мл. долларов. После окончания сезона 2012/2013 завершил свою карьеру.
Куба дебютировал за сборную Чехии в 2001 году, в этом же году стал чемпионом мира. Также становился бронзовым призером Олимпийских игр 2006. На чемпионатах мира и Олимпийских играх провёл 36 игр, в которых набрал 10 очков (3+7). Всего за сборную Чехии провел 43 игры, набрал 16 очков (9+7).
.svg){kind=small}
