Лоренцево сокращение

Специальная теория относительности
Принцип относительности Теория относительности Двойная специальная теория относительности Общая теория относительности
Основы Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Система отсчёта Инерциальная система отсчёта Инертная масса Система центра масс Скорость света Уравнения Максвелла Преобразования Лоренца
Следствия Замедление времени Гравитационное замедление времени Масса в специальной теории относительности Эквивалентность массы и энергии Лоренцево сокращение Относительность одновременности Прецессия Томаса Парадокс Белла Парадокс Эренфеста
Пространство-время Пространство Минковского Мировая линия Пространственно-временная диаграмма Световой конус
Динамика Собственное время Инвариантная масса Четырёхимпульс
История · Предшественники Преобразования Галилея Теории эфира
Учёные Эйнштейн Зоммерфельд Майкельсон Морли Фицджеральд Лоренц Пуанкаре Минковский Физо Абрахам Борн Планк Лауэ Эренфест Толмен Дирак

Лоренцево сокращение, Фицджеральдово сокращение, также называемое релятивистским сокращением длины движущегося тела или масштаба, — предсказываемый релятивистской кинематикой эффект, заключающийся в том, что с точки зрения наблюдателя движущиеся относительно него предметы и пространство имеют меньшую длину (линейные размеры) в направлении движения, чем их собственная длина. Множитель, выражающий кажущееся сжатие размеров, тем сильнее отличается от 1, чем больше скорость движения предмета.

Эффект значим, только если скорость предмета по отношению к наблюдателю сравнима со скоростью света.

Пусть стержень покоится в инерциальной системе отсчёта K и расстояние между концами стержня, измеренное в К («собственная» длина стержня), равно l. Пусть далее стержень движется вдоль своей длины со скоростью v относительно некой другой (инерциальной) системы отсчёта K'. В таком случае расстояние l' между концами стержня, измеренное в системе отсчета K', составит

${\displaystyle l'={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ l}$ , где c — скорость света.

При этом расстояния поперёк движения одинаковы в обеих системах отсчета K и K'.

Величина γ, обратная множителю с корнем, называется также Лоренц-фактором. С её использованием эффект можно сформулировать и так: время пролёта стержня мимо фиксированной точки системы отсчёта K' составит

${\displaystyle T'={\frac {1}{\gamma }}{\frac {l}{v}}}$ .

Сокращение длины может быть выведено из преобразований Лоренца несколькими способами:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right),\\t'&=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right).\end{aligned}}}$

Пусть в инерциальной системе отсчета К ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ обозначают концы движущегося объекта. Тогда его длина ${\displaystyle L}$ определяется через одновременное положение концов ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$. Собственную длину объекта в К'-системе можно рассчитать через преобразования Лоренца. Преобразование временных координат из К в К' приводит к различающемуся времени. Но это не проблема, так как объект покоится в К'-системе, и не имеет значения, в какой момент времени произведены измерения. Поэтому достаточно сделать преобразования пространственных координат, что дает:^[1]

${\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right),x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right).}$

Поскольку ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$, то, положив ${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$ и ${\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}}$, собственная длина в К'-системе, получается

${\displaystyle L_{0}^{'}=L\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(1)}},}$

В соответствии с этим измеренная длина в К-системе получается уменьшенной

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(2)}}}$

В соответствии с принципом относительности объекты, покоящиеся в К-системе, будут также уменьшены в К'-системе. Поменяв симметрично нештрихованные и штрихованные обозначения:

${\displaystyle L_{0}=L'\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(3)}}}$

Тогда уменьшенная длина, измеряемая в К'-системе:

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(4)}}}$

Если объект покоится в К-системе и известна его собственная длина, то одновременность измерений концов объекта в К'-системе необходимо рассчитать, потому что объект постоянно меняет свою позицию. В таком случае необходимо преобразовать и пространственные, и временные координаты:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}+vt_{1}\right),&&&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}+vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}+vx_{1}/c^{2}\right),&&&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}+vx_{2}/c^{2}\right).\end{aligned}}}$

Так как ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ и ${\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}}$, получаемые результаты не одновременны:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma L_{0}\\\Delta t'&=\gamma vL_{0}/c^{2}\end{aligned}}}$

Для получения одновременных положений концов необходимо вычесть из ${\displaystyle \Delta x'}$ расстояние, пройденное вторым концом со скоростью ${\displaystyle v}$ в течение времени ${\displaystyle \Delta t'}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}L'&=\Delta x'-v\Delta t'\\&=\gamma L_{0}-\gamma v^{2}L_{0}/c^{2}\\&=L_{0}/\gamma \end{aligned}}}$

Таким образом, движущаяся длина в К'-системе уменьшилась. Точно так же можно рассчитать симметричный результат для объекта, покоящегося в К'-системе

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }$.

Сокращение длин возникает из-за свойств псевдоевклидовой геометрии пространства Минковского, аналогичных удлинению сечения, например, цилиндра, когда оно проводится не строго поперёк оси, а косо. Говоря иначе, «один и тот же момент времени» с точки зрения системы отсчёта, где стержень движется, не будет являться одним и тем же моментом с точки зрения системы отсчёта, связанной со стержнем.^[3] То есть процедура измерения расстояния в одной системе отсчёта с точки зрения любой другой системы отсчёта является не процедурой измерения чистого расстояния, когда положения, например, концов стержня засекаются в один и тот же момент времени, а смесью измерения пространственного расстояния и промежутка времени, которые вместе составляют инвариантный, то есть не зависящий от системы отсчёта, пространственно-временной интервал.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

В 1911 году Владимир Варичак^[англ.] утверждал, что, согласно Лоренцу, сокращение длины воспринимается объективно, в то время как, по мнению Эйнштейна, это «всего лишь кажущееся субъективное явление, вызванное способом упорядочивания наших часов и измерением длин».^[4][5] Эйнштейн опубликовал опровержение:

Эйнштейн также утверждал в этой статье, что сокращение длины — это не просто результат произвольных определений, касающихся способа упорядочивания часов и измерения длин. Он предложил следующий мысленный эксперимент: Пусть A'B' и A"B" будут концами двух стержней одинаковой длины L₀, измеренных на x' и x" соответственно. Пусть они движутся в противоположных направлениях вдоль оси x*, рассматриваемой в состоянии покоя, с одинаковой по отношению к ней скоростью. Затем концевые точки A'A" встречаются в точке A*, а B'B" встречаются в точке B*. Эйнштейн показал, что длина A*B* короче, чем A'B 'или A''B'', что также можно продемонстрировать, остановив один из стержней по отношению к этой оси.^[6]

Лоренцево сокращение лежит в основе таких эффектов, как парадокс Эренфеста и парадокс Белла, показывающих непригодность понятий классической механики к СТО. Они показывают невозможность, соответственно, раскрутить и придать ускорение гипотетическому «абсолютно твёрдому телу».

• Физическая энциклопедия, т.2 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.608-609.

• Форма релятивистских объектов
• Прецессия Томаса
• Релятивистское замедление времени
• Парадокс шеста и сарая

Для улучшения этой статьи желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.