Многие многочлены узла вычисляются с помощью скейн-соотношения , которые позволяют путём изменения типа пересечения свести узел к более простому. В теории узлов многочлен узла — это инвариант узла в виде многочлена , коэффициенты которого кодируют некоторые свойства данного узла .
Первый многочлен узла, многочлен Александера , представлен Джеймсом Александером в 1923 году , но другие многочлены узла найдены лишь почти 60 лет спустя.
В 1960-х годах Джон Конвей предложил скейн-соотношения для версии многочлена Александра, который обычно упоминается как многочлен Александера — Конвея . Важность скейн-соотношений не была оценена до 1980-х годов, когда Вон Джонс открыл многочлен Джонса . Это открытие привело к обнаружению ещё нескольких многочленов, таких как многочлен HOMFLY .
Вскоре после открытия Джонса Луис Кауффман [англ.] скобки Кауффмана , инвариант оснащённых [англ.] статистической механике .
В конце 1980-х годов совершено два прорыва: Эдвард Виттен продемонстрировал, что многочлен Джонса и похожие инварианты этого типа описаны в теории Черна — Саймонса ; Виктор Васильев и Михаил Гусаров [англ.] инвариантов конечного типа [англ.]
В 2003 году показано, что многочлен Александера связан с гомологией Флоера [англ.] гомологии Хегора — Флоера [англ.] [ 1]
Запись Александера — Бриггса
Многочлен Александера
Δ
(
t
)
{\displaystyle \Delta (t)}
Многочлен Конвея
∇
(
z
)
{\displaystyle \nabla (z)}
многочлен Джонса
V
(
q
)
{\displaystyle V(q)}
Многочлен HOMFLY
H
(
a
,
z
)
{\displaystyle H(a,z)}
0
1
{\displaystyle 0_{1}}
Тривиальный узел )
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
3
1
{\displaystyle 3_{1}}
Трилистник )
t
−
1
+
t
−
1
{\displaystyle t-1+t^{-1}}
z
2
+
1
{\displaystyle z^{2}+1}
q
−
1
+
q
−
3
−
q
−
4
{\displaystyle q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}
−
a
4
+
a
2
z
2
+
2
a
2
{\displaystyle -a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}}
4
1
{\displaystyle 4_{1}}
Восьмёрка )
−
t
+
3
−
t
−
1
{\displaystyle -t+3-t^{-1}}
−
z
2
+
1
{\displaystyle -z^{2}+1}
q
2
−
q
+
1
−
q
−
1
+
q
−
2
{\displaystyle q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}}
a
2
+
a
−
2
−
z
2
−
1
{\displaystyle a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1}
5
1
{\displaystyle 5_{1}}
Лапчатка )
t
2
−
t
+
1
−
t
−
1
+
t
−
2
{\displaystyle t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}}
z
4
+
3
z
2
+
1
{\displaystyle z^{4}+3z^{2}+1}
q
−
2
+
q
−
4
−
q
−
5
+
q
−
6
−
q
−
7
{\displaystyle q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}}
−
a
6
z
2
−
2
a
6
+
a
4
z
4
+
4
a
4
z
2
+
3
a
4
{\displaystyle -a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}}
−
{\displaystyle -}
Бабий узел )
(
t
−
1
+
t
−
1
)
2
{\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}
(
z
2
+
1
)
2
{\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}
(
q
−
1
+
q
−
3
−
q
−
4
)
2
{\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)^{2}}
(
−
a
4
+
a
2
z
2
+
2
a
2
)
2
{\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^{2}}
−
{\displaystyle -}
Прямой узел )
(
t
−
1
+
t
−
1
)
2
{\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}
(
z
2
+
1
)
2
{\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}
(
q
−
1
+
q
−
3
−
q
−
4
)
(
q
+
q
3
−
q
4
)
{\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)\left(q+q^{3}-q^{4}\right)}
(
−
a
4
+
a
2
z
2
+
2
a
2
)
×
{\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\times }
(
−
a
−
4
+
a
−
2
z
−
2
+
2
a
−
2
)
{\displaystyle \left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)}
Запись Александера — Бриггса — это нотация, перечисляющая узлы по их числу пересечения, при этом обычно предполагается, что в списке находятся только простые узлы (Смотрите Список простых узлов [англ.]
Заметим, что многочлен Александера и многочлен Конвея НЕ МОГУТ различить левый и правый трилистники .
Левый трилистник.
Правый трилистник.
Не различают они также бабий узел и прямой узел, поскольку композиция узлов в
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
Colin Adams. The Knot Book. — American Mathematical Society. — ISBN 0-8050-7380-9 .W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — New York: Springer-Verlag, 1997. — Т. 175. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98254-X .Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó. Heegaard Floer homology and alternating knots // Geom. Topol. — 2003. — Вып. 7 .
.svg)
