Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки) — векторнаяфизическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведениерадиус-вектора точки приложения силы и вектора силы. Моменты сил, образующиеся в разных условиях, в технике могут иметь названия: кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент, скру́чивающий момент.
Момент силы обозначается символом или, реже, (тау).
Единица измерения в СИ: Н⋅м. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O.
Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось ; такая проекция называется моментом силы относительно оси.
Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела относительно того же начала O со временем : имеет место соотношение . В статике равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.
В физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело.
В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины на расстояние от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»:
.
Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м.
Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда). При этом равновесие достигается в ситуации .
Для случаев более сложных движений и более сложных объектов определение момента как произведения требует универсализации.
Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате).
Момент силы относительно точки
В общем случае момент силы , приложенной к телу, определяется как векторное произведение
,
где — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор перпендикулярен векторам и .
Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела , то начало O всегда выбирается одинаковым для и .
Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси.
В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:
,
где — радиус-вектор точки приложения -й силы . В случае силы, распределённой с плотностью ,
.
Если (Н/м3) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.
Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента на ось, то есть
,
где — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как
,
где через и обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.
В отличие от момента силы , величина момента силы относительно оси не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси.
Для краткости символ параллельности и знак могут опускаться, а (как и ) именоваться «моментом силы».
Единицы измерения
Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.
где — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно . Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при . При сонаправленности и рычага момент равен нулю.
Статическое равновесие
Чтобы покоившийся объект сохранил состояние механического равновесия после приложения к нему сил, наряду с равенством нулю суммы этих сил, должна быть нулевой сумма моментов сил (правило моментов):
,
где — радиус-вектор места приложения силы . Если , то выбор начала отсчёта не принципиален.
В двумерном случае, когда тело плоское и силы действуют в его плоскости (скажем, ), правило моментов превращается в условие на компоненту момента в третьем измерении .
Вариант правила для случая тела, «насаженного» на закреплённую ось: вращение отсутствует при нулевой сумме моментов относительно этой оси:
,
то есть если суммы моментов сил, стремящихся повернуть рассматриваемое тело по и против часовой стрелки, равны.
Движение твёрдого тела
Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.
Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.
.
Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.
Продифференцируем это выражение по времени. И если — постоянная величина во времени, то
Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:
.
Если момент силы или равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется.
С мощностью
Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность (где — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность
Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон-метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию джоуля.
Измерение момента силы
Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — торсиометров. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими, магнитоупругими, а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными, индуктивными, ультразвуковыми, механическими.
Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы на рычаг , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.
Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок , которому соответствует бесконечно малый угол . Обозначим через вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка и равен ему по модулю. Угол между векторами и равен , а угол между векторами и равен .
Следовательно, бесконечно малая работа , совершаемая силой на бесконечно малом участке , равна скалярному произведению вектора и вектора силы, то есть .
Теперь попытаемся выразить модуль вектора через радиус-вектор , а проекцию вектора силы на вектор — через угол .
Так как для бесконечно малого перемещения рычага можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: , где в случае малого угла справедливо и, следовательно, .
Для проекции вектора силы на вектор видно, что угол , а так как , получаем, что .
Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: , или .
Видно, что произведение есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов и , то есть , которое и было принято обозначить за момент силы , или модуль вектора момента силы .