Нестор Росси родился в Буэнос-Айресе на улице Лабарден дель Парке Патрисиос в семье Сегундо Росси и Хосефы Элолы[1].
Он воспитанник клубов «Атлетико Беккар де Беккар», «Спортиво Акасуссо» и «Платенсе», однако он начал свою карьеру в другой команде, «Ривер Плейт», куда попал благодаря Карлосу Пеуселье[2], увидевшему его во время матча «Беккар де Беккара». За три годы Нестор прошёл пусть от пятой команды клуба, до основного состава[1]. Он дебютировал в команде 24 июня 1945 года в матче с клубом «Расинг», завершившимся победой его команды 2:0[1]. В первые два сезона Росси «присматривался» к команде, но затем он смог завоевать место в составе клуба[3]. В 1947 году Нестор выиграл свой первый трофей, чемпионат Аргентины (в 1945 году Росси провёл слишком мало матчей, чтобы считаться игроком основного состава «Ривера»). В 1949 году Росси перешёл в клуб «Мильонариос», для того, чтобы заработать денег: многие аргентинские футболисты охотно покидали свои клубы и уезжали играть в Колумбию, так как условия, зачастую, там были лучше и зарплата выше. В Колумбии Росси выиграл 4 чемпионата страны, Кубок страны, а также Малый Кубок мира. Также во время пребывания в этой стране полузащитник заработал больше денег, чем во все остальные годы его карьеры[1]. В 1955 году Росси вернулся в «Ривер» и выиграл с клубом ещё три титула чемпиона страны. Завершил карьеру Нестор в «Уракане» в 1961 году[3].
.svg){kind=small}