В 1977 году окончил механико-машиностроительный факультет Ленинградского политехнического института имени М. И. Калинина (ныне — Санкт-Петербургский государственный политехнический университет) по специальности «строительные и дорожные машины и оборудование, строительство»[3].
1971—1977 — студент Ленинградского ордена Ленина политехнического института им. М. И. Калинина, г. Ленинград
1977—1980 — инженер пусконаладочного отдела Ленинградского филиала Всесоюзного института «Оргэнергострой» Минэнерго СССР, г. Ленинград
1980—1984 — начальник технического отдела, главный конструктор Управления подсобных предприятий УС «Красноярскэнергострой», Минэнерго СССР, г. Саяногорск Красноярского края
1984 — руководитель группы отдела КР-3 Ленинградского филиала Всесоюзного института «Оргэнергострой» Минэнерго СССР, г. Ленинград
1984—1987 — исполняющий обязанности главного технолога, главный технолог, исполняющий обязанности управляющего, заместитель управляющего треста «Севзапметаллургмонтаж» Минмонтажспецстроя СССР, г. Ленинград
1987—1988 — заместитель начальника Главного управления по строительству инженерных сооружений «Главленинградинжстрой», г. Ленинград
1988—1991 — директор Ленинградского филиала Совместного советско-американского предприятия «Диалог», г. Ленинград
1991—1993 — генеральный директор советско-американского АО «Диалог-инвест», г. Санкт-Петербург
1993—1995 — председатель правления Акционерного банка «Россия», г. Санкт-Петербург
2001—2002 — заместитель Председателя Правления ОАО «Газпром», г. Москва
2002—2004 — вице-президент по финансовым вопросам ООО «Объединённая компания ГРОС», г. Красногорск Московской обл.
2007—2009 — первый вице-президент — руководитель комплекса развития телекоммуникационных активов (система Телеком), первый вице-президент— руководитель Бизнес-Единицы «Телекоммуникационные активы» ОАО Акционерная финансовая корпорация «Система», г. Москва
При Савельеве авиакомпания Аэрофлот вошла в топ-20 крупнейших авиакомпаний мира[4], заняла четвертое место по цифровизации среди всех авиакомпаний мира по данным американской консалтинговой компании Bain & Company[5].
С целью создания равных конкурентных условий для российских и иностранных авиакомпаний, а также стимулирования снижения стоимости авиабилетов в России, Савельев в разные периоды выступал с законодательными инициативами, на основе которых были приняты следующие изменения в Воздушный кодекс Российской Федерации. В 2014 году предложил введение т.н. «невозвратных тарифов», в соответствии с которым пассажир в случае отказа от перевозки отказывался также и от возвращения оплаченных средств за билет[6][7]. В то же время Аэрофлот фактически стал монополистом на рынке, «убив» конкурентов[8].
В том же 2014 году выступил с инициативой разрешить российским авиакомпаниям привлекать иностранных граждан в качестве командиров воздушных судов — в пределах квоты и на условиях, которые устанавливаются Правительством Российской Федерации[9][10].
В 2017 году инициировал возможность использования т.н. «безбагажных тарифов», которые предусматривают отсутствие нормы бесплатного провоза зарегистрированного багажа и снижение разрешенного веса ручной клади с 10 кг до 5 кг[11].
Кроме того, благодаря Савельеву в 2017 году были внесены изменения в Воздушный кодекс РФ, связанные с созданием т.н. «чёрного списка». Он представлял собой реестр лиц, которым авиакомпания имела право отказать в оказании услуг на основании совершённых ими ранее административных правонарушений на борту воздушного судна, либо приговора суда за совершение таких правонарушений[12].
Савельев впервые в истории страны в 2011 году создал Группу «Аэрофлот». Под управление Аэрофлота перешёл ряд региональных авиакомпаний. В 2014 году Савельевым создана авиакомпания «Победа» — классический лоукостер в составе Группы «Аэрофлот».
Под руководством Савельева авиакомпания Аэрофлот добилась значительного увеличения числа пассажиров на своих рейсах. Так, на момент прихода Савельева в Аэрофлот в 2009 году, авиакомпания перевозила 8,8 млн пассажиров, а вместе с дочерними компаниями — 11,1 млн[13].
В 2019 году Аэрофлот перевёз 37,2 млн пассажиров, а группа Аэрофлот — 60,7 млн[14].
6 февраля 2016 года был избран в руководящий орган партии Единая Россия — Высший совет[15]. Беспартийный.
В 2020 году освобождён от должности гендиректора Аэрофлота и назначен Министром транспорта РФ[8]. Этому предшествовало несколько инцидентов, связанных с компанией (ситуации с перевозкой животных и катастрофы самолётов Superjet).
В 2021 году Генеральная прокуратура Украины возбудила уголовное дело в отношении Савельева, обвиняемого в организации незаконной переправки лиц через государственную границу Украины в период с апреля 2014 года по ноябрь 2020 года (ч. 3 ст. 332 УК Украины)[20].
В феврале 2022 года против Савельева в Европейском союзе были введены персональные санкции, в связи с вторжением России на Украину[21] «за активную поддержку или осуществление действий или политики, которые подрывают или угрожают территориальной целостности, суверенитету и независимости Украины, а также стабильности и безопасности на Украине». Также Евросоюз отметил что «Аэрофлот» под руководством Савельева обеспечивал регулярные пассажирские авиаперевозки между российскими аэропортами и международным аэропортом Симферополя, тем самым поддержав присоединение незаконно аннексированного Крымского полуострова Российской Федерацией»[22].
15 марта вслед за ЕС власти Великобритании также внесли Савельева в санкционные списки[23].