С 1979 года — главный режиссёр Театра имени Ш. Руставели, с 1980 года — его художественный руководитель.
В этом театре, вместе со своими постоянными соавторами — художником Георгием Алекси-Месхишвили и композитором Гией Канчели, осуществил ряд выдающихся постановок, получивших признание далеко за пределами Грузии, в их числе «Кавказский меловой круг» Б. Брехта и «Ричард III» У. Шекспира[1].
С конца 1990-х годов много работал в России — ставил спектакли в театрах «Сатирикон» и «Et Cetera»[1][2].
Приказом министра культуры и защиты памятников Грузии от 9 августа2011 года был уволен с поста художественного руководителя Театра имени Ш. Руставели с 15 августа 2011 года[3][4]; официальная причина увольнения — его ксенофобские высказывания. «Мы не будем финансировать ксенофобию», — заявил министр культуры Грузии Ника Руруа[5]. На своём творческом вечере режиссёр допустил ряд резких высказываний в адрес Михаила Саакашвили и заявил, что во главе страны хотел бы видеть грузина, в то время как Саакашвили, по его словам, армянин[5][6]. При этом подчеркнул, что любит армян, что у него близкие родственники армяне, — это не помешало ряду представителей правительственного окружения обвинить его в ксенофобии[6].
После увольнения получил приглашение в театр «Et Cetera» (Москва), главным режиссёром которого является по настоящее время[1].
В ноябре 2012 года приказом министра культуры Грузии Гурама Одишария был восстановлен в должности художественного руководителя Театра им. Ш. Руставели. Однако режиссёр заявил, что не вступит в должность до тех пор, пока она не будет сформулирована так: художественный руководитель — управляющий театром[7].
В июне 2013 года открыл в Тбилиси собственный театр «Фабрика», который ему подарил премьер-министр ГрузииБидзина Иванишвили. Первой премьерой на новой площадке стал спектакль «Мария Каллас. Урок» по пьесе Терренса Макнелли «Мастер-класс»[8].
Был членом редакционного совета журнала «Детектив и политика».
Государственная премия Российской Федерации в области просветительской деятельности (2000) — за международные рождественские фестивали искусств, программы «Весь мир — наш дом», «Театр «Глобус» — детям-сиротам»[10]
Государственная премия Грузинской ССР им. Котэ Марджанишвили (1976)
Международные премии: имени Альберта Швейцера (1975), премия Английской критики (1980), премия Итальянской критики (1981), премия Государственного университета Аргентины (Буэнос-Айрес, 1988).
Постановка «Гамлета» на сцене театра «Риверсайд Стьюдиоз» (Лондон) в 1992 году была внесена Международным Шекспировским обществом в число 10 лучших мировых постановок «Гамлета» за 50 лет
Театральная премия «Чайка» — за самую оригинальную режиссёрскую интерпретацию (Москва, 1998)
Специальный приз Руставского международного театрального фестиваля 1998 года — «Золотая медаль президента»
2009 — Александр Филиппенко. Неугомонный (документальный)
2011 — Гия Канчели. Жизнь в звуках (документальный)
2012 — Здравствуйте, я ваш Калягин! (документальный)
Литературные сочинения
Пьесы «Обвинение», «Вариации на современную тему», «Концерт для двух скрипок в сопровождении восточных инструментов».
Политика
Был одним из самых непримиримых противников Михаила Саакашвили, — в мае 2011 года Общегражданское движение «Многонациональная Грузия» объявило бойкот ему и Театру им. Ш. Руставели, заступившись за тогдашнего президента Грузии. Причиной бойкота послужило интервью, опубликованное информационным агентством «Грузинформ» 16 мая 2011 года; в заявлении, распространённом «Многонациональной Грузией» 20 мая, указывалось, что в этом интервью Р. Стуруа, отвечая на вопрос журналиста, почему М. Саакашвили так не любит свой народ, с грустью заметил: «что поделаешь, он же армянин», — и далее заявил, что М. Саакашвили не обращается с Грузией так же, как в своё время Шушаник, что к власти его привела Америка для уничтожения Грузии[16][17].
Роберт Стуруа: О театре и о себе (Беседа с гл. режиссером Театра им. Руставели. Тбилиси / Записала В. Зинина) // Литературная Грузия, 1983, № 1. — с. 198—204