Теорема Гаусса — Ванцеля

Теоре́ма Га́усса — Ванце́ля даёт необходимое и достаточное условие на то, что правильный $n$ -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки.

Формулировка

Правильный $n$ -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда $n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m}$ , где $k$ и $m$ — неотрицательные целые числа, а $p_{i}$ — различные простые числа Ферма.

Замечания

Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера $\varphi (n)$ является степенью числа два.
В настоящее время найдены только пять простых чисел Ферма:

3,\,5,\,17,\,257,\,65537;

^[1]

поэтому (до открытия новых простых Ферма) с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с максимальным нечётным числом сторон, равным

3\cdot 5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537=2^{32}-1

= 4294967295.

Правильный $n$ -многоугольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда при наличии на плоскости отрезка длины $1$ можно построить отрезок, длина которого равна $\cos {\tfrac {2\cdot \pi }{n}}$ — косинусу центрального угла данного $n$ -многоугольника. Это, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда данный косинус является вещественно построимым числом, то есть может быть выражен при помощи целых чисел, простейших арифметических операций и извлечения квадратного корня.

История

Античным геометрам были известны способы построения правильных $n$ -угольников для $n=2^{k},3\cdot 2^{k},5\cdot 2^{k}$ и $3\cdot 5\cdot 2^{k}$ .

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных $n$ -угольников при $n=2^{k}\cdot p_{1}\cdots p_{m}$ , где $p_{i}$ — различные простые числа Ферма. (Здесь случай $m=0$ соответствует числу сторон $n=2^{k}$ .)

В 1837 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки:

Построение правильного семнадцатиугольника было непосредственно осуществлено самим Гауссом, но впервые опубликовано К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 году.
Правильный 257-угольник построил Ф. Ю. Ришело в 1832 году^[2].
В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом десятилетней работы И. Г. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.

Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением^[3].Дж. Литлвуд

Примечания

↑ См. последовательность A019434 в OEIS.
↑ Friedrich Julius Richelot. De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1832. — Т. 9. — С. 1—26, 146—161, 209—230, 337—358.
↑ Дж. Литлвуд. Математическая смесь. — М.: Наука, 1990. — С. 43. — ISBN 5-02-014332-4. Архивировано 31 июля 2021 года.

Ссылки

Жак Сезиано История построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки от Евклида до Гаусса Семинар по истории математики, 4 мая 2017 года, Санкт-Петербург, ПОМИ.

[1] См. последовательность A019434 в OEIS.

[2] Friedrich Julius Richelot. De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1832. — Т. 9. — С. 1—26, 146—161, 209—230, 337—358.

[3] Дж. Литлвуд. Математическая смесь. — М.: Наука, 1990. — С. 43. — ISBN 5-02-014332-4. Архивировано 31 июля 2021 года.

[1]

[2]

[3]