Теорема Цермело

Теорема Цермело — теорема теории множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, утверждающая, что на всяком множестве можно ввести такое отношение порядка, что множество будет вполне упорядоченным. Одна из важнейших теорем в теории множеств. Названа в честь немецкого математика Эрнста Цермело. Теорема Цермело в ZF и эквивалентна аксиоме выбора.

Георг Кантор считал, что утверждение этой теоремы является «фундаментальным принципом мысли».^[1] Действительно, любое подмножество натуральных чисел можно тривиально вполне упорядочить, например, перенеся порядок с множества натуральных чисел. Однако большинству математиков трудно представить себе полный порядок уже, например, множества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ действительных чисел. В 1904 году Дьюла Кёниг^[англ.] сообщил, что доказал, что такого упорядочения не может существовать. Несколько недель спустя Феликс Хаусдорф обнаружил ошибку в доказательстве.^[2] Однако вскорости Эрнст Цермело опубликовал свою известнейшую работу,^[3] в которой доказал, что любое множество можно вполне упорядочить. Его доказательство опиралось на впервые сформулированную в этой же работе аксиому выбора. Вызванная этим фактом дискуссия побудила Цермело впоследствии вплотную заняться аксиоматизацией теории множеств, что привело к созданию аксиоматики Цермело — Френкеля.

Этот раздел статьи ещё не написан. Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (16 июля 2017)

Доказательство см. в статье Утверждения, эквивалентные аксиоме выбора.

• Вполне упорядоченное множество
• Аксиома выбора
• Лемма Цорна

• Верещагин Н. Шень А. Начала теории множеств. — 4-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 112 с. — ISBN 978-5-4439-0012-4.