Центрированное квадратное число

Центрированное квадратное число — это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки, находящиеся на квадратных слоях.

Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решётке. Центрированные квадратные числа, как и фигурные числа, имеют мало практических приложений, если вообще имеют, но они изучаются в занимательной математике за элегантные геометрические и арифметические свойства.

Фигуры для первых четырёх центрированных квадратных чисел показаны ниже:

${\displaystyle C_{4,1}=1}$		${\displaystyle C_{4,2}=5}$		${\displaystyle C_{4,3}=13}$		${\displaystyle C_{4,4}=25}$

n-ое центрированное квадратное число задаётся формулой

${\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.}$

Другими словами, центрированное квадратное число — это сумма двух последовательных квадратов. Следующие диаграммы демонстрируют формулу:

${\displaystyle C_{4,1}=1}$		${\displaystyle C_{4,2}=1+4}$		${\displaystyle C_{4,3}=4+9}$		${\displaystyle C_{4,4}=9+16}$

Формулу можно представить следующим образом

${\displaystyle C_{4,n}={(2n-1)^{2}+1 \over 2};}$

таким образом, n-ое центрированное квадратное число равно половине n-го нечётного квадрата + 1/2, что иллюстрируется ниже:

${\displaystyle C_{4,1}=(1+1)/2}$		${\displaystyle C_{4,2}=(9+1)/2}$		${\displaystyle C_{4,3}=(25+1)/2}$		${\displaystyle C_{4,4}=(49+1)/2}$

Как и другие центрированные полигональные числа, центрированные квадратные числа могут быть выражены в треугольных числах:

${\displaystyle C_{4,n}=1+4\,T_{n-1},}$

где

${\displaystyle T_{n}={n(n+1) \over 2}={n^{2}+n \over 2}={n+1 \choose 2}}$

есть n-ое треугольное число. Это легко увидеть, если просто удалить центральную точку и разделить оставшиеся на четыре треугольника, как ниже:

${\displaystyle C_{4,1}=1}$		${\displaystyle C_{4,2}=1+4\times 1}$		${\displaystyle C_{4,3}=1+4\times 3}$		${\displaystyle C_{4,4}=1+4\times 6.}$

Разность между двумя последовательными восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число (Conway and Guy, p. 50).

Первые несколько центрированных квадратных чисел^[1]:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, …

Все центрированные квадратные числа нечётны, и последняя цифра в десятичном представлении дает последовательность 1-5-3-5-1.

Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4. Отсюда все центрированные квадратные числа и их делители сравнимы с 1 или 5 по модулю 6, 8 или 12.

Все центрированные квадратные числа, за исключением 1, есть гипотенуза в одном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13).

Центрированные квадратные простые — это центрированные квадратные числа, являющиеся также простыми. В отличие от обычных квадратных чисел, которые никогда не являются простыми, несколько центрированных квадратных чисел просты.

Несколько первых центрированных квадратных простых^[2]:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, …

Замечательный пример можно увидеть в магическом квадрате 10-го столетия ал-Антаакии.

• Число клеток в окрестности фон Неймана порядка r совпадает с центрированным квадратным числом с номером r
• Теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов

• Alfred, U. (1962), "n and n + 1 consecutive integers with equal sums of squares", Mathematics Magazine, 35 (3): 155–164, doi:10.1080/0025570X.1962.11975326, JSTOR 2688938, MR 1571197 {{citation}}: templatestyles stripmarker в |title= на позиции 1 (справка)
• Beiler, A. H. (1964), Recreations in the Theory of Numbers, New York: Dover, p. 125
• Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, pp. 41–42, ISBN 0-387-97993-X, MR 1411676

• (n² + 1) / 2 as a special case of M(i, j) = (i² + j) / 2