Гулд-Адамс родился в городе Джеймсбрук в графстве Корк (Ирландия). Он был четвертым сыном Ричарда Уоллиса Гулд-Адамса, позднее занявшим пост шерифа графства, и его жены Мэри Сары, урожденной Бекер. После окончания учебы Гамильтон поступил курсантом на учебный корабль ВМС «Конвэй», однако в 1878 году изменил своё мнение, покинул флот и записался в Королевский шотландский полк Британской армии. Полк дислоцировался в Южной Африке. В 1885 году Гулд-Адамс получил чин капитана, а в 1895 году — майора.
Сдержанный и несколько суровый Гулд-Адамс прибыл в Брисбен15 марта1915 года, за два месяца до избрания первого лейбористского правительства Квинсленда во главе с премьер-министром Т.Дж. Райаном.
Новое правительство начало трудовые реформы и ввело радикальное трудовое и земельное законодательство, положения которого не устраивали Гулд-Адамса. В своем первом послании в Лондон он возражал против внедрения «массы непродуманных законодательных актов», однако благоприятно отозвался о Райане как «джентльмен высокого положения, вежливом и всегда готовом помочь».
В бурные 1916—1918 годы, когда Райан столкнулся с непримиримой позицией Законодательного совета, Гулд-Адамс стал ему верным другом и советчиком, защищая правительство. В 1917 году Гулд-Адамс добился назначения тринадцати новых законодательных советников, выполняя просьбу Райана. Однако в 1918 году, когда Законодательный совет вновь заблокировал денежные операции правительства и Райан попросил губернатора продвинуть в Совет еще несколько лейбористов, Гулд-Адамс отказался ему пойти ему навстречу.
Готовясь уйти в отставку в 1919 году, Гулд-Адамс порекомендовал министру по делам колоний назначить спикера Законодательного совета Уильяма Леннона вице-губернатором в подчинении новому губернатору. Это назначение частично удовлетворило стремления большинства депутатом Совета к утверждению на должности губернатора коренного австралийца.