Энергия Ферми

Энергия (уровень) Фе́рми (${\displaystyle E_{F}}$) системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Энергия Ферми эквивалентна химическому потенциалу системы в её основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми — одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Для нерелятивистских невзаимодействующих частиц со спином 1/2 в трёхмерном пространстве

${\displaystyle E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3},}$

Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми. Здесь ${\displaystyle \hbar }$ - приведенная постоянная Планка, ${\displaystyle m_{0}}$ - масса фермиона, ${\displaystyle N/V}$ - концентрация частиц.

Фермионы — частицы с полуцелым спином, обычно 1/2, такие, как электроны — подчиняются принципу запрета Паули, согласно которому две одинаковые частицы, образуя квантово-механическую систему (например, атом), не могут принимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми — Дирака. Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания их энергии (например, заполнение электронами электронных орбиталей атома). Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния: в случае макроскопической системы различие неважно). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми. Частицы с энергией, равной энергии Ферми, двигаются со скоростью, называемой скоростью Фе́рми.

В свободном электронном газе (квантово-механическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу. Нечто подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла, используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале). В любом случае состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми. Для свободного электронного газа, поверхность Ферми — поверхность сферы; для периодических систем она вообще имеет искаженную форму. Объём, заключённый под поверхностью Ферми, определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью. Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах ${\displaystyle T}$ можно считать ${\displaystyle kT\ll \mu }$, где ${\displaystyle \mu }$ - химический потенциал при данной температуре, ${\displaystyle k}$ - постоянная Больцмана. Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. (В другом предельном случае ${\displaystyle kT\gg \mu }$ ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.)

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

${\displaystyle \mu =E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right],}$

Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми ${\displaystyle E_{F}/k}$. Характерная температура имеет порядок 10⁴ K для металла, следовательно, при комнатной температуре (300 K), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми — Дирака ^[1]

${\displaystyle {{f}_{FD}}\left(E-\mu \right)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT}}\right)+1}}.}$

При температуре ${\displaystyle T\to 0}$ и энергии фермиона ${\displaystyle E}$, равной ${\displaystyle E_{F}}$, функция распределения Ферми-Дирака стремится к значению ${\displaystyle {{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu (T)\right)\to {\frac {1}{2}}}$. При низких температурах ${\displaystyle kT\ll {{E}_{F}}}$ граница заполнения энергетических состояний ${\displaystyle E=E_{F}}$ симметрично размывается на величину порядка ${\displaystyle kT}$. При этом вероятность заполнения электронных состояний с энергией Ферми ${\displaystyle {{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu \right)\approx 1/2}$. При высоких температурах размытие становится несимметричным, а значение химического потенциала смещается в область низких энергий^[1].

В качестве уровня Ферми при ${\displaystyle kT\ll {{E}_{F}}}$ можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть уровень состояния, вероятность заполнения которого частицей равна 1/2).

Концентрация электронов проводимости в вырожденных полупроводниках связана с расстоянием от края частично заполненной энергетической зоны до уровня Ферми. Эту положительную величину иногда тоже называют энергией Ферми, по аналогии с энергией Ферми свободного электронного газа, которая, как известно, положительна.

В металлах обычно имеется несколько частично заполненных энергетических зон, поэтому указать точный вид зависимости концентрации свободных носителей заряда от положения уровня Ферми не представляется возможным.

• Квазиуровень Ферми

• Гусев В. Г., Гусев Ю. М. Электроника. — М.: Высшая школа, 1991. — С. 53. — ISBN 5-06-000681-6.

Для улучшения этой статьи желательно: Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Добавить иллюстрации. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.