В математиці, давньоєгипетське множення (також відоме як єгипетське множення, ефіопське множення, російське множення або селянське множення) — один з двох методів множення, що використовувалися писарями, полягає в систематичному підході до множення двох чисел. Алгоритм не вимагає таблиці множення, тільки можливість множити, ділити на 2, і додавати. Метод використовує розкладання одного із співмножників (зазвичай більшого) в суму степенів двійки та створює таблицю подвоєнь другого множника. Давньоєгипетське множення досі використовується в деяких галузях.
Хоча в стародавньому Єгипті поняття основи 2 не існує, алгоритм, по суті, той же, що і алгоритм довгого множення[en]. Тому метод як інтерпретація перетворення в двійковий формат, як і раніше широко використовується сьогодні, і реалізується як бінарний мультиплікатор в сучасних комп'ютерних процесорах.
Давньоєгипетське множення
Розклад числа
Стародавні єгиптяни складали таблиці розкладу великого числа за степенями двійки, а не перераховували їх кожного разу. Розкладання числа, таким чином, полягає у знаходженні степенів двійки, що утворюють його. Єгиптяни знали емпірично, що отриманий степінь двійки з'являтиметься у даному числі тільки один раз. Розкладаючи, вони продовжували процес методично: спочатку знаходили найбільший степінь двійки, що є меншим або дорівнює числу про яке йдеться, далі віднімали це число і повторювали процес, поки не залишиться нічого. (Єгиптяни не використовували у математиці числа нуль.)
Для того, щоб знайти найбільший степінь 2, потрібно подвоювати свою відповідь, починаючи з 1, наприклад:
1 × 2 =
2
2 × 2 =
4
4 × 2 =
8
8 × 2 =
16
16 × 2 =
32
Приклад розкладу числа 25:
Найбільший степінь двійки, що є меншим чи дорівнює 25
це 16:
25 — 16
= 9
Найбільший степінь двійки, що є меншим чи дорівнює 9
це 8:
9 — 8
= 1
Найбільший степінь двійки, що є меншим чи дорівнює 1
це 1:
1 — 1
= 0
25 таким чином є сумою степенів двійки: 16, 8 та 1.
Створення таблиці
Після розкладу першого множника необхідно побудувати таблицю степенів подвоєння другого множника (як правило, меншого) від одиниці до найбільшого степеня двійки, знайденого під час розкладу більшого числа. В таблиці кожен наступний рядок отримується шляхом множення попереднього рядка на два.
Наприклад, якщо найбільший степінь двійки, знайдений під час розкладу, це 16, а другий співмножник дорівнює 7, то таблиця створюється таким чином:
1
7
2
14
4
28
8
56
16
112
Результат
Результат отримується шляхом додавання чисел з другої колонки для яких відповідний степінь двійки становить частину розкладу першого множника.
Головною перевагою цього методу є те, що він використовує лише додавання, віднімання та множення на два.
Приклад
Нижче наведено приклад множення 238 на 13.
1
13
✓
2
26
✓
4
52
✓
8
104
16
208
✓
32
416
✓
64
832
✓
128
1664
238
3094
Оскільки 238 = 2 + 4 + 8 + 32 + 64 + 128, то отримаємо:
В Російському селянському методі один з множників записують зліва і поступово скорочують вдвічі, відкидаючи залишки, допоки значення не стане 1 (або -1, в цьому випадку в кінцевому підсумку добуток є від'ємним), в той час як число у правій колонці подвоюється, як і раніше. Лінії з парними числами в лівій колоці вкреслюються, а числа, що залишилися зправа підсумовуються.[1]
Приклад
Щоб помножити 238 на 13, менше з чисел (для того, щоб зменшити кількість кроків) 13 записують зліва, а більше — зправа. Ліве число поступово зменшується вдвічі (відкидаючи залишок), а праве число подвоюється до тих пір, поки зліва не утвориться 1:
13
238
6
(відкидаємо залишок)
476
3
952
1
(відкидаємо залишок)
1904
Лінії з парними числами з лівої колонки викреслюються, а числа що залишились підсумовуються, даючи у відповіді 3094:
13
238
6
476
3
952
1
+ 1904
3094
Алгоритм можна проілюстровати через двійкове представлення чисел:
1101
(13)
11101110
(238)
110
(6)
111011100
(476)
11
(3)
1110111000
(952)
1
(1)
11101110000
(1904)
1
1
1
0
1
1
1
0
(238)
×
1
1
0
1
(13)
1
1
1
0
1
1
1
0
(238)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(0)
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
(952)
+
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
(1904)
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
(3094)
Чому метод працює?
Давайте знайдемо як приклад 9*8:
9
8
18
4
36
2
72
1
Оскільки 72 єдине число, що залишилось в лівій колонці, нашою відповіддю є 72.
Зверніть увагу, що множенням на 2 чисел однієї колонки і діленням на 2 іншої, ми не вплинули на загальний результат:
9*8
= 18*4
= 36*2
= 72*1
Ми перегрупували числа по-іншому, не змінюючи відповідь.
Якщо ми перемножимо 8*9, то маємо отримати той же результат. Але чи зможемо ми пояснити нашу відповідь таким чином?
8
9
16
4
32
2
64
1
72
Коли ми поділили 9 навпіл, ми відкинули залишок, тому що 9 є непарним числом. Оскільки ми «втратили» одиницю, добуток кожного рядка тепер є меншим. Знайдемо різницю між першим та другим рядком:
8*9 — 16*4 = 72 — 64 = 8
Ми можемо переписати різницю у вигляді суми:
8*9
= 16*4 + 8
Оскільки наш добуток зменшився на 8, ми повинні додати 8 в кінці. Можемо розглядати додавання як поновлення 1 групи з 8, так як ми втратили це раніше. В іншому прикладі ми могли б відновлювати декілька різних груп чисел.
Як було зазначено, стародавні єгиптяни винайшли подібний метод множення тисячами років раніше, а сучасні комп'ютери все ще використовують такі методи.
Boyer, Carl B. (1968) A History of Mathematics. New York: John Wiley.
Brown, Kevin S. (1995) The Akhmin Papyrus 1995 — Egyptian Unit Fractions.
Bruckheimer, Maxim, and Y. Salomon (1977) "Some Comments on R. J. Gillings' Analysis of the 2/n Table in the Rhind Papyrus, " Historia Mathematica 4: 445-52.
Bruins, Evert M. (1953) Fontes matheseos: hoofdpunten van het prae-Griekse en Griekse wiskundig denken. Leiden: E. J. Brill.
------- (1957) "Platon et la table égyptienne 2/n, " Janus 46: 253-63.
Bruins, Evert M (1981) "Egyptian Arithmetic, " Janus 68: 33-52.
Burton, David M. (2003) History of Mathematics: An Introduction. Boston Wm. C. Brown.
Chace, Arnold Buffum, et al. (1927) The Rhind Mathematical Papyrus. Oberlin: Mathematical Association of America.
Cooke, Roger (1997) The History of Mathematics. A Brief Course. New York, John Wiley & Sons.
Couchoud, Sylvia. «Mathématiques égyptiennes». Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Egypte pharaonique., Paris, Le Léopard d'Or, 1993.
Daressy, Georges. «Akhmim Wood Tablets», Le Caire Imprimerie de l'Institut Francais d'Archeologie Orientale, 1901, 95–96.
Eves, Howard (1961) An Introduction to the History of Mathematics. New York, Holt, Rinehard & Winston.
Fowler, David H. (1999) The mathematics of Plato's Academy: a new reconstruction. Oxford Univ. Press.
Gardiner, Alan H. (1957) Egyptian Grammar being an Introduction to the Study of Hieroglyphs. Oxford University Press.
Gardner, Milo (2002) «The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term» in History of the Mathematical Sciences, Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav (eds), New Delhi, Hindustan Book Agency:119-34.
-------- «Mathematical Roll of Egypt» in Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Springer, Nov. 2005.
Gillings, Richard J. (1962) "The Egyptian Mathematical Leather Roll, " Australian Journal of Science 24: 339-44. Reprinted in his (1972) Mathematics in the Time of the Pharaohs. MIT Press. Reprinted by Dover Publications, 1982.
-------- (1974) «The Recto of the Rhind Mathematical Papyrus: How Did the Ancient Egyptian Scribe Prepare It?» Archive for History of Exact Sciences 12: 291-98.
-------- (1979) "The Recto of the RMP and the EMLR, « Historia Mathematica, Toronto 6 (1979), 442—447.
-------- (1981) „The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it?“ Historia Mathematica: 456-57.
Glanville, S.R.K. „The Mathematical Leather Roll in the British Museum“ Journal of Egyptian Archaeology 13, London (1927): 232–8
Griffith, Francis Llewelyn. The Petrie Papyri. Hieratic Papyri from Kahun and Gurob (Principally of the Middle Kingdom), Vols. 1, 2. Bernard Quaritch, London, 1898.
Gunn, Battiscombe George. Review of The Rhind Mathematical Papyrus by T. E. Peet. The Journal of Egyptian Archaeology 12 London, (1926): 123—137.
Hultsch, F, Die Elemente der Aegyptischen Theihungsrechmun 8, Ubersich uber die Lehre von den Zerlegangen, (1895):167-71.
Imhausen, Annette. „Egyptian Mathematical Texts and their Contexts“, Science in Context 16, Cambridge (UK), (2003): 367—389.
Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock/the non-European Roots of Mathematics, Princeton, Princeton University Press, 2000
Klee, Victor, and Wagon, Stan. Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, Mathematical Association of America, 1991.
Knorr, Wilbur R. „Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece“. Historia Mathematica 9 Berlin, (1982): 133—171.
Legon, John A.R. „A Kahun Mathematical Fragment“. Discussions in Egyptology, 24 Oxford, (1992).
Lüneburg, H. (1993) „Zerlgung von Bruchen in Stammbruche“ Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers, Wissenschaftsverlag, Mannheim: 81=85.
Robins, Gay. and Charles Shute, The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text» London, British Museum Press, 1987.
Roero, C. S. «Egyptian mathematics» Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences" I. Grattan-Guinness (ed), London, (1994): 30–45.
Sarton, George. Introduction to the History of Science, Vol I, New York, Williams & Son, 1927
Scott, A. and Hall, H.R., «Laboratory Notes: Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC», British Museum Quarterly, Vol 2, London, (1927): 56.
Sylvester, J. J. «On a Point in the Theory of Vulgar Fractions»: American Journal Of Mathematics, 3 Baltimore (1880): 332—335, 388—389.
Vogel, Kurt. "Erweitert die Lederolle unserer Kenntniss ägyptischer Mathematik Archiv für Geschichte der Mathematik, V 2, Julius Schuster, Berlin (1929): 386—407
van der Waerden, Bartel Leendert. Science Awakening, New York, 1963
Hana Vymazalova, The Wooden Tablets from Cairo: The Use of the Grain Unit HK3T in Ancient Egypt, Archiv Orientalai, Charles U Prague, 2002.
