Автоковаріація

Частина з циклу Статистика
Кореляція та коваріація
Для випадкових векторів Автокореляційна матриця Взаємна кореляційна матриця[en] Автоковаріаційна матриця Взаємна коваріаційна матриця[en]
Для стохастичних процесів Автокореляційна функція Взаємна кореляційна функція Автоковаріаційна функція Взаємна коваріаційна функція
Для детермінованих сигналів Автокореляційна функція Взаємна кореляційна функція Автоковаріаційна функція Взаємна коваріаційна функція
п о р

У теорії ймовірностей та статистиці для заданого стохастичного процесу автоковаріа́ція (англ. autocovariance) — це функція, яка дає коваріацію цього процесу із самим собою в парах моментів часу. Автоковаріація процесу тісно пов'язана з його автокореляцією.

За звичайного позначення ${\displaystyle \operatorname {E} }$ для оператора математичного сподівання, якщо стохастичний процес ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ має функцію середнього значення ${\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]}$, то автоковаріацію визначають як^{[1]:с. 162}

де ${\displaystyle t_{1}}$ та ${\displaystyle t_{2}}$ — два моменти часу.

Якщо ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ — слабко стаціонарний процес, то має місце наступне:^{[1]:с. 163}

${\displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu }$ для всіх ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

і

${\displaystyle \operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }$ для всіх ${\displaystyle t}$

і

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}$

де ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$ — запізнювання в часі (англ. time lag), або кількість часу, на яку було зміщено сигнал.

Таким чином, автоковаріаційна функція слабко стаціонарного процесу задається як^{[2]:с. 517}

що рівнозначне

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}}$.

Поширеною практикою в деяких дисциплінах (наприклад, у статистиці та аналізі часових рядів) є унормовувати автоковаріаційну функцію, щоб отримувати залежний від часу коефіцієнт кореляції Пірсона. Проте в деяких інших дисциплінах (наприклад, в інженерії) унормовування зазвичай пропускають, а терміни «автокореляція» та «автоковаріація» використовують як взаємозамінні.

Визначення нормованої автокореляції стохастичного процесу:

${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}}$.

Якщо функція ${\displaystyle \rho _{XX}}$ однозначно визначена, її значення мусять лежати в діапазоні ${\displaystyle [-1,1]}$, причому 1 вказує на ідеальну кореляцію, а −1 — на ідеальну антикореляцію.

Для слабко стаціонарного процесу визначення таке:

${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}$.

де

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}}$.

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$^[3]:с.169

відповідно, для слабко стаціонарного процесу:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}}$^[3]:с.173

Автоковаріацією процесу з лінійним фільтром ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}$

є

${\displaystyle K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,}$

Автоковаріацію можливо використовувати для обчислення турбулентної дифузійності^[en].^[4] Турбулентність у потоці може спричинювати флуктуації швидкості в просторі й часі. Таким чином, ми можемо визначати турбулентність за допомогою статистики цих флуктуацій^{[джерело?]}.

Для визначання флуктуацій швидкості ${\displaystyle u'(x,t)}$ використовують розклад Рейнольдса^[en] (припустімо, що ми зараз працюємо з одновимірною задачею, й ${\displaystyle U(x,t)}$ — швидкість уздовж напрямку ${\displaystyle x}$):

${\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}$

де ${\displaystyle U(x,t)}$ — істинна швидкість, а ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$ — математичне сподівання швидкості^[en]. Якщо ми оберемо правильне ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$, то всі стохастичні складові турбулентної швидкості буде включено до ${\displaystyle u'(x,t)}$. Щоби визначити ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$, необхідний набір вимірювань швидкості, зібраних із точок у просторі, моментів часу, або повторюваних експериментів.

Якщо ми припускаємо, що турбулентний потік ${\displaystyle \langle u'c'\rangle }$ (${\displaystyle c'=c-\langle c\rangle }$, а c — член концентрації) може бути викликано випадковим блуканням, то для вираження члену турбулентного потоку ми можемо використовувати закони дифузії Фіка:

${\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.}$

Автоковаріація швидкості визначається як

${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle }$ або ${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,}$

де ${\displaystyle \tau }$ — часове, а ${\displaystyle r}$ — просторове відставання.

Турбулентну дифузійність ${\displaystyle D_{T_{x}}}$ можливо обчислювати за допомогою наступних 3 методів:

• Авторегресійний процес^[en]
• Кореляція
• Взаємна коваріація
• Взаємна кореляція
• Оцінювання коваріацій шумів (як приклад застосування)

• Hoel, P. G. (1984). Mathematical Statistics (вид. Fifth). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4. (англ.)
• Конспект лекції з автоковаріації ВГОІ (англ.)