Алгебра подій

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (травень 2020)

Алгебра подій в теорії ймовірностей — алгебра підмножин простору елементарних подій ${\displaystyle ~\Omega }$, елементами якого служать елементарні події.

Як і належить алгебрі множин, алгебра подій містить неможливу подію (порожня множина), замкнену відносно теоретико-множинних операцій, виконаних у скінченному числі. Достатньо щоб алгебра подій була замкнута відносно двох операцій, наприклад, перетину і доповнення, з чого відразу випливає її замкнутість відносно будь-яких інших теоретико-множинних операцій. Алгебра подій, замкнута щодо скінченного числа теоретико-множинних операцій, називається сигма-алгеброю подій.

У теорії ймовірностей зустрічаються такі алгебри та сигма-алгебри подій:

• алгебра скінченних підмножин ${\displaystyle ~\Omega }$;
• сигма-алгебра скінченних підмножин ${\displaystyle ~\Omega }$;
• алгебра підмножин ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, утворена кінцевими об'єднаннями інтервалів;
• сигма-алгебра борелівських підмножин топологічного простору ${\displaystyle ~\Omega }$, тобто найменша сигма-алгебра, що містить усі відкриті підмножини;
• алгебра циліндрів в просторі функцій і сигма-алгебра, породжена ними.

Алгебри та сигма-алгебри подій — це області визначення ймовірності ${\displaystyle \mathbf {P} }$ . Якщо ${\displaystyle \mathbf {P} (x)=0}$, то подія ${\displaystyle x\subseteq \Omega }$ називається неможливою подією; якщо ${\displaystyle \mathbf {P} (x)=1}$ , то подія ${\displaystyle x\subseteq \Omega }$ називається достовірною подією;

Подія ${\displaystyle A+B}$ або ${\displaystyle A\cup B}$ , полягає в тому, що з двох подій ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ відбувається принаймні одна, називається сумою подій ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ .

Будь–яка сигма-адитивна ймовірність на алгебрі подій однозначно продовжується до сигма-адитивної ймовірності, визначеної на сигма-алгебрі подій, породженій даною алгеброю подій.

• Алгебра (теорія множин)
• Кільце множин