Народився 29 серпня1929 року в місті Куїнцано-д'Ольйо. Вихованець футбольної школи клубу «Брешія». Дорослу футбольну кар'єру розпочав 1948 року в основній команді того ж клубу, в якій провів сім сезонів у Серії Б, взявши участь у 160 матчах чемпіонату. З сезону 1951/52 був основним гравцем команди.
Своєю грою за цю команду привернув увагу Нерео Рокко[1], що тренував «Падова» з Серії А, до складу якого Адзіні приєднався влітку 1955 року. У новій команді став основним гравцем, проте в червні 1958 року був пожиттєво дискваліфікований за договірний матч[it] у березні того ж року проти «Аталанти» (0:3), що боролась за виживання[2]. В листопаді наступного року дискваліфікацію скоротили до двох років[3] і з сезону 1960/61 Адзіні знову став грати за «Падову», відігравши за клуб з Падуї ще три сезони у Серії А. Загалом у вищому італійському дивізіоні гравець провів 121 матч і забив 1 гол.
Завершив професійну ігрову кар'єру у рідній «Брешії», повернувшись до команди 1962 року і захищав її кольори протягом наступного сезону 1962/63, проте зіграв лише у 7 матчах Серії Б.
.svg){kind=small}
