Збіжність за Пуассоном — Абелем

Збіжність за Пуассоном — Абелем — узагальнення поняття збіжності ряду, яке запропонували Пуассон і Абель.

Нехай ${\displaystyle A}$ — числовий ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$ Ряд ${\displaystyle A}$ називають збіжним за Пуассоном — Абелем, якщо існує границя:^[1]

${\displaystyle \lim _{x\to 1-0}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}=s_{p}(A)}$

Розглянемо ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}}$. Цей ряд збіжний за Пуассоном — Абелем: ${\displaystyle \lim _{x\to 1-0}(1-x+x^{2}-...)=\lim _{x\to 1-0}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}}$

• Якщо ${\displaystyle A}$ — збіжний ряд, то він збігається за Пуассоном — Абелем і ${\displaystyle s_{p}(A)=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$^[2].
• Якщо ряди ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ збіжні за Пуассоном — Абелем, то і їх добуток ${\displaystyle C}$ збігається за Пуассоном — Абелем і ${\displaystyle s_{p}(A)s_{p}(B)=s_{p}(C)}$^[3].

• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Ейлером

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М. : Наука, 1986. — 408 с.