Зірчатий многокутник

Два типи зірчастих п'ятикутників

{5/2}	|5/2|
Правильний зірчатий п'ятикутник, {5/2}, має п'ять вершин (вершини його кутів) та п'ять ребер, що перетинаються. Неопуклий десятикутник, |5/2|, має десять ребер та два набори по п'ять вершин. Перший використовується в означеннях зірчастих багатогранників та зірчастих однорідних паркетів, тоді як другий іноді використовується в паркетах на площині.

Зірчатий багатокутник, також зірчастий багатокутник, або зірчастий многокутник — один з видів неопуклих багатокутників.

Бранко Ґрюнбаум розрізнив два типи зірчатих багатокутників: перший відповідає означенню правильних зірчатих багатокутників, ребра яких перетинаються, але точки перетину не утворюють нових вершин; а другий тип є ізотоксальними неопуклими простими багатокутниками.^[1]

Правильні зірчасті багатокутники

2 < 2q < p, НСД(p, q) = 1
{5/2} {7/2} {7/3}
Символ Шлефлі	{p/q}
Вершини та Ребра	p
Щільність[en]	q
Діаграма Коксетера — Динкіна
Група симетрії	Діедрична симетрія (Dp)
Двоїстий[en]	Самодвоїстий
Внутрішній кут (градусів)	${\displaystyle 180-{\frac {360q}{p}}}$[2]

Правильний зірчатий багатокутник (або правильна поліграма) {p/q} — неопуклий багатокутник, що складається з p вершин (які розміщені на деякому колі та ділять його на p рівних частин), та p рівних ребер, що сполучають кожну i- ту вершину з кожною (i+q)-ю вершиною.

Якщо, наприклад, «q = 2», то з'єднується кожна друга точка. Якщо «q = 3», то з'єднується кожна третя точка. Межа багатокутника обертається навколо центру q разів.

При цьому ребра багатокутника перетинаються, але точки їх перетину не утворюють нових вершин.

Пентаграма {5/2}

Гептаграма {7/2}

Гептаграма {7/3}

...

Деякі невироджені правильні зірчасті багатокутники до 12 сторін включно:

• Пентаграма – {5/2}
• Гептаграма – {7/2} та {7/3}
• Октаграма – {8/3}
• Енеаграма – {9/2} та {9/4}
• Декаграма – {10/3}
• Гендекаграма – {11/2}, {11/3}, {11/4} та {11/5}
• Додекаграма – {12/5}

p та q мають бути взаємно простими, інакше багатокутник буде виродженим.

У правильного зірчастого багатокутника всі сторони та кути рівні.

Правильний зірчастий багатокутник позначають символом Шлефлі як {p/q}, де p (кількість вершин) та q (щільність багатокутника^[en]) взаємно прості числа (не мають спільних множників), і q ≥ 2.

Група симетрії багатокутника {p/q} є діедричною групою D_p, порядку 2p, і не залежить від q.

Радіус описаного кола правильного зірчастого багатокутника {p/q} при (p,q)=1(тобто, якщо p та q — взаємно прості числа) з довжиною ребра ${\displaystyle a}$, можна обчислити за формулою: ^[3]

${\displaystyle R={\frac {\sin \left({\frac {p-2q}{2p}}\cdot \pi \right)}{\sin \left({\frac {2q}{p}}\cdot \pi \right)}}\cdot a}$

Правильний зірчатий багатокутник може бути суцільно нерозривним (тобто олівець обходить багатокутник по периметру через всі його вершини без відриву від паперу), наприклад, як правильна пентаграма. А також — складеним (тобто олівець обходить весь багатокутник по периметру і всі його вершини з відривом від паперу, до повного замикання багатокутника), наприклад, як правильна гексаграма — зірчаста форма правильного шестикутника, є сполукою двох протилежно орієнтованих рівносторонніх трикутників.

Правильні зірчасті багатокутники вперше були систематично вивчені Томасом Брадвардіном^[en], а пізніше Йоганном Кеплером. ^[4]

Назва	Пентаграма	Гептаграма		Октаграма	Енеаграма		Декаграма	...n-грама
Символ Шлефлі	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{p/q}
Симетрія	D5, [5]	D7, [7]		D8, [8]	D9, [9],		D10, [10]	Dp, [p]
Діаграма Коксетера
Зображення

Правильні зірчасті багатокутники

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

• Нехай p вершин розташовані як вершини правильного p-кутника. Правильний зірчастий багатокутник можна утворити, сполучивши несусідні вершини, і продовжувати процес доти, доки не буде досягнута початкова вершина.^[5]

Також:

• Нехай p точок розташовані на деякому колі і ділять його на p рівних частин. Правильний зірчастий багатокутник {p/q} утворююється, якщо з'єднати кожну q- ту точку до повного замикання багатокутника. ^[3]

Наприклад, у правильному п'ятикутнику п'ятикутну зірку можна отримати, з'єднавши вершини через одну: 1-у та 3-ю, 3-ю та 5-у, 5-у та 2-у, 2-у та 4-у, 4-у та 1-у вершини.

Якщо q ≥ p/2, то побудова {p/q} призведе до такого ж багатокутника, як і {p/(p - q)}; з'єднання кожної третьої вершини п'ятикутника дасть такий же результат, як і з'єднання кожної другої вершини. Однак вершини будуть досягнуті у зворотному порядку, що має значення, коли ретроградні багатокутники входять до складу політопів вищої розмірності. Наприклад, антипризма, утворена з проґрадної пентаграми {5/2}, дає пентаграмну антипризму^[en]; аналогічна конструкція з пентаграми {5/3} дає пентаграмну схрещену антипризму^[en]; пентаграматична перехрещена антипризма. Іншим прикладом є тетрагемігексаедр, який можна розглядати як «перехрещений трикутний куполоїд » {3/2}.

Якщо p та q не є взаємно простими числами, то зірчастий багатокутник буде виродженим, тобто його вершини і ребра будуть збігатися. Наприклад, багатокутник {6/2} виглядає як трикутник, але його можна позначити двома наборами вершин: 1-3 та 4-6. І це слід розглядати не як два трикутники, що накладені один на один, а як цільний шестикутник з подвійним закручуванням.^{[6] [7]}

Вироджені правильні зірчасті багатокутники з кількістю сторін до 12 включно:

• Чотирикутник – {4/2}
• Шестикутники – {6/2}, {6/3}
• Восьмикутники – {8/2}, {8/4}
• Дев'ятикутник – {9/3}
• Десятикутники – {10/2}, {10/4}, and {10/5}
• Дванадцятикутники – {12/2}, {12/3}, {12/4}, and {12/6}

Дві інтерпретації {6/2}

Ґрюнбаум {6/2} або 2{3}[8]	Коксетер 2{3} або {6}[2{3}]{6}
Двічі закручений шестикутник.	Гексаграма, як поєднання двох трикутників

Залежно від того, як саме отримано символ Шлефлі, існують різні думки щодо природи виродженої фігури. Наприклад, {6/2} можна трактувати одним з двох способів:

• Протягом більшої частини 20-го століття (див., наприклад, Coxeter, (1948)) зазвичай використовували позначення "6/2 " для шестикутника, у якого з'єднана кожна друга вершина; такий правильний зірчастий шестикутник є складеним з двох трикутників, або гексаграмою.

Коксетер позначає таку правильну сполуку символом {k•p}[k{p}]{k•p} для зірки {p/k}, так що гексаграма представляється як {6}[2{3}]{6}.^[9] Більш компактно Коксетер також записує позначення 2 {n/2} ( 2{3} для гексаграми) для складеної зірки з чергуванням правильних парно-сторонніх багатокутників, з курсивом на провідному факторі, щоб відрізнити його від інтерпретації, коли вони збігаються. ^[10]

• Багато сучасних геометрів, таких як Ґрюнбаум (2003),^[8] вважають це неправильним. Вони вважають, що /2 означає переміщення на два місця навколо {6} на кожному кроці, в результаті чого виходить «подвійно закручений» трикутник, який має по дві вершини, накладені у кожній кутовій точці, і два ребра вздовж кожного відрізка лінії. Це не тільки краще узгоджується з сучасними теоріями абстрактних політопів, але й більш точно копіює спосіб, у який Пуансо (1809) створював свої зірчасті багатокутники, беручи одну довжину дроту і згинаючи його в послідовних точках на один і той самий кут, поки фігура не замикалася.

Також правильний зірчатий багатокутник можна отримати шляхом ззірчення опуклого правильного багатокутника, тобто шляхом одночасного продовження всіх сторін правильного багатокутника до їх наступного перетину в точках, які і є вершинами зірчастого багатокутника.

Отриманий зірчатий багатокутник буде зірчастої формою правильного багатокутника, з якого він отриманий. Вершинами зірчастого багатокутника будуть вважатися тільки ті точки, в яких сходяться сторони цього багатокутника, але не точки перетину цих сторін; зірчаста форма даного багатокутника має стільки ж вершин, скільки він сам. Вказану дію неможливо виконати з правильним трикутником і квадратом, так як після продовження їхніх сторін, вони більше не перетинаються; серед правильних багатокутників зірчасті форми мають тільки багатокутники з числом сторін більше чотирьох. Зірчастою формою правильного п'ятикутника (пентагона) є пентаграма.

У правильного багатокутника може бути кілька зірчастих форм, кількість яких залежить від того, скільки разів його сторони перетинаються між собою після їх продовження. Наприклад, правильний семикутник має 2 зірчасті форми (два види семипроменевої зірки).

Побудова, що основана на ззірченні також дозволяє отримати правильні багатокутні сполуки у випадках, коли щільність q та кількість вершин p не є взаємно простими числами.

Якщо з правильного зірчастого n-кутника видалити частини ребер, що обмежені точками їх перетину і знаходяться всередині багатокутника, отримана фігура перестає бути правильною, але може розглядатися як ізотоксальний неопуклий простий 2n-кутник, що має два набори вершин, що по-чергово розташовані на колах двох різних радіусів. Бранко Грюнбаум у Нахилах і візерунках позначає таку зірку, яка відповідає контуру правильної поліграми {n/k} як |n/k|, або більш загально {n_𝛼}, що позначає ізотоксальний неопуклий або опуклий простий 2n-кутник із внутрішнім кутом 𝛼 при зовнішній вершині.

• Для |n/k|, внутрішній кут 𝛼 при зовнішній вершині дорівнює 𝛼 = 180(1 − 2k/n) градусів, а зовнішній кут при внутрішній (новій) вершині дорівнює β_зовн. = 180[1 − 2(k − 1)/n] градусів.

• Для {n_𝛼}, внутрішній кут при злвнішній вершині 𝛼 та зовнішній кут при внутрішній вершині β_зовн., не обов'язково дорівнюють відповідним кутам правильної поліграми {n/k}; однак обов'язково, 𝛼 < 180(1 − 2/n) градусів та β_зовн. < 180°, (у випадку, коли {n_𝛼} неопуклий).^[1]

Приклади ізотоксальниї зірчатих простих багатокутників.

|n/k| {n𝛼}	|9/4| {920°}	{330°}	{630°}	|5/2| {536°}	{445°}	|8/3| {845°}	|6/2| {660°}	{572°}
𝛼	20°	30°		36°	45°		60°	72°
βзовн.	60°	150°	90°	108°	135°	90°	120°	144°
Ізотоксальна проста n-кутна зірка
Пов'язана правильна поліграма {n/k}	{9/4}	{12/5}		{5/2}	{8/3}		2{3}	{10/3}

Ці багатокутники часто зустрічаються як плитки паркетів. Параметричний кут 𝛼 (у градусах або радіанах) може бути обраний відповідно до внутрішніх кутів сусідніх багатокутників у візерунку паркета. У своїй роботі 1619 року Harmonices Mundi', Йоганн Кеплер серед періодичних мозаїк, включає неперіодичні мозаїки, такі як мозаїка з трьома правильними п'ятикутниками і одним правильним зірчастим п'ятикутником, що розміщені навколо певних вершин, 5,5,5,5/2, і пов'язана з сучасними мозаїками Пенроуза.^[11]

Приклади ізогональних паркетів з ізотоксальними простими зірками.^[12]

Ізотоксальні прості n-кутні зірки	"Трикутні" зірки (n = 3)	"Чотирикутні" зірки (n = 4)	"Шестикутні" зірки (n = 6)			"Восьмикутні" зірки (n = 8)
Зображення мозаїки
Вершинна фігура.	3.3Шаблон:Supsub.3.3Шаблон:Supsub	8.4Шаблон:Supsub.8.4Шаблон:Supsub	6.6Шаблон:Supsub.6.6Шаблон:Supsub	3.6Шаблон:Supsub.6Шаблон:Supsub	3.6.6Шаблон:Supsub.6	not edge-to-edge

Існує кілька способів відображати внутрішню частину зірчастого багатокутника. Бранко Ґрюнбаум та Джофрі Стефард розглядали два з них, зокрема, як правильну зірчастий n-кутник та як Ізотоксальний неопуклий простий 2n-кутник.^[11]

Три інтерпретації для внутрішньої частини зірчастого багатокутника:

• в місцях, де частина ребра знаходиться всередині багатокутника, одна сторона цього відрізка розглядається як зовнішня, а інша - як внутрішня. Це показано на ілюстрації ліворуч і зазвичай зустрічається у комп'ютерній візуалізації векторної графіки.
• Кількість разів, які полігональна крива (ламана) огинає задану область, визначає її щільність. Зовнішня область має щільність 0, а будь-яка область зі щільністю > 0 розглядається як внутрішня. Це показано на центральній ілюстрації і зазвичай зустрічається у математичній характеристиці багатогранників (однак, для неорієнтованих багатогранників щільність можна розглядати лише за модулем 2 і, отже, у цих випадках, для узгодженості, іноді замість неї використовується перша обробка).
• Внутрішня область поліграми, що обмежена її контуром ( без частин ребер, що знаходяться всередині, як у другому випадку). Це показано на ілюстрації праворуч і зазвичай використовується при створенні фізичної моделі зірки.

Коли обчислюється площа багатокутника, кожен з цих підходів дає різні результати.

• Зірка (геометрія)
• Зірчастий многогранник

• М. Веннинджер. [1] — Москва : Мир, 1974. Архівовано з джерела 11 жовтня 2020(рос.)

• Coxeter, H.S.M. (1948). Regular Polytopes. Methuen and Co.

• Cromwell, P.; Polyhedra, CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2. Pbk. 1999, ISBN 0-521-66405-5. p. 175
• Grünbaum, B. and G. C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co. (1987), ISBN 0-7167-1193-1.
• Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto, 1993), ed. T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994), pp. 43–70.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26, p. 404: Regular star-polytopes Dimension 2)
• Branko Grünbaum, Metamorphoses of polygons, published in The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History (1994)

• Weisstein, Eric W. Star Polygon(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Polygram(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.