З 2012 захищає кольори хокейної команди Університету Массачусетс. У сезоні 2013/14 Коннор стає найкращим воротарем ліги.[1]
5 квітня 2014 укладає трирічний контракт з клубом НХЛ«Вінніпег Джетс». Сезон 2014/15 проводить в складі «Сент-Джонс АйсКепс». Взимку 2015 його обирають на матч всіх зірок АХЛ.[2]
Старт наступного сезону відбувся в складі «Манітоба Мус», а вже 22 листопада 2015 через травму голкіпера чеха Ондржея Павелця його викликали до табору «Джетс».[3] 27 листопада 2015 він дебютує в НХЛ в матчі проти «Міннесота Вайлд», 27 грудня відіграв перший матч на нуль проти могутніх «Піттсбург Пінгвінс», яка завершилась перемогою канадців 1–0.
Сезон 2016/17 Коннор провів як основний воротар «Джетс».
24 липня 2017 укладає однорічний контракт на суму $2.25 мільйонів доларів з канадською командою з Вінніпега.[4]
У сезоні 2017/18 Еллебюйк встановлює новий рекорд для воротарів-американців залишаючи позаду Тома Баррассо з його рекордом 1992 року в складі «Піттсбург Пінгвінс».[5] 17 квітня він був номінований на Трофей Везіни.[6]
12 липня 2018 уклав новий шестирічний контракт з «Джетс».[7]
