Множина рівня

Множиною рівня ${\displaystyle y_{o}\in E_{f}}$ функції ${\displaystyle f}$, означеної на ${\displaystyle E_{f}}$ називається множина виду ${\displaystyle f^{-1}(y_{o})=\{x:f(x)=y_{0}\}}$.

Множина рівня функцій, що володіють фрактальними властивостями може бути одноточковою, зліченною або континуальною.

Розглянемо 2-вимірну евклідову відстань: $${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ Множнина рівня ${\displaystyle L_{r}(d)}$ цієї функцій складається з точок, що лежать на відстані ${\displaystyle r}$ від початку координат, тобто коло. Наприклад, ${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$, бо ${\displaystyle d(3,4)=5}$. Геометрично це означає, що точка ${\displaystyle (3,4)}$ приналежить колу радіуса 5 з центром в початку координат. Загальніше, сфера в метричному просторі ${\displaystyle (M,m)}$ з радіусом ${\displaystyle r}$ із центром у ${\displaystyle x\in M}$ можна означити через множину рівня ${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$.

Теорема: Якщо функція f диференційовна, тоді в кожній точці градієнт f або рівний нулю, або перпендикулярний множині рівня f у цій точці.

Щоб збагнути, що це означає уявіть, що два скелелази в одній точці на горі. Один із них зухвалий і обирає напрямок найкрутішого схилу. Інший натомість поміркований; він не бажає ані дертись угору, ані спускатись донизу і обирає шлях уздовж якого він буде на тій самій висоті. Наша теорема стверджує, що ці скелелази розійдуться під прямим кутом.

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

В іншому мовному розділі є повніша стаття Level set(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської. Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська». Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії! Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії. Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті. Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.