Незвідний многочлен

Для довільного поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$, многочлен ${\displaystyle p(x)}$ з коефіцієнтами в ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (такі многочлени утворюють кільце ${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$) називається незвідним у полі ${\displaystyle \mathbb {F} }$, якщо він не рівний константі і не дорівнює добутку двох або більше многочленів з ${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$, що не є константами. Дана властивість залежить від поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$; многочлен, що є незвідним в одному полі може розкладатися на добуток в іншому.

Кожен многочлен ${\displaystyle p(x)}$ у ${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$ може бути розкладений в добуток многочленів, що є незвідними в ${\displaystyle \mathbb {F} }$. Цей розклад на множники є однозначно визначеним з точністю до перестановки множників і множення многочленів у розкладі на константи з поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Наступні п'ять многочленів демонструють деякі елементарні властивості незвідних многочленів:

${\displaystyle p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)(x+2)}}$,

${\displaystyle p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}}$,

${\displaystyle p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)}$,

${\displaystyle p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})}$,

${\displaystyle p_{5}(x)=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}}$.

Над кільцем ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цілих чисел, перші два многочлени є звідними, останні два є незвідними. (Третій, звичайно, не є многочленом над цілими числами.)

Над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ раціональних чисел, перші три многочлени є звідними, двоє інших — незвідні.

Над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ дійсних чисел, перші чотири многочлени — звідні, але ${\displaystyle p_{5}(x)}$ є незвідним.

Над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексних чисел, всі п'ять многочленів звідні. Фактично, кожен відмінний від константи многочлен ${\displaystyle p(x)}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ може бути розкладений на множники виду:

${\displaystyle p(x)=a(x-z_{1})\cdots (x-z_{n})}$

де ${\displaystyle n}$ — степінь многочлена, ${\displaystyle a}$ — старший коефіцієнт, ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ — корені ${\displaystyle \ p(x)}$. Тому єдиними незвідними многочленами над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).

Як показано вище, тільки лінійні многочлени є незвідними в полі комплексних чисел. В полі дійсних чисел незвідними є лінійні многочлени і квадратичні многочлени без дійсних коренів . Наприклад розклад многочлена ${\displaystyle x^{4}+1}$ в полі дійсних чисел має вигляд ${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1).}$ Обидва множники в даному розкладі є незвідними многочленами.

Многочлени з цілочисельними коефіцієнтами, які є незвідними над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ можуть бути звідними над скінченним полем. Наприклад, многочлен ${\displaystyle x^{2}+1}$ є незвідним над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ але над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ з двох елементів може бути звідним. Наприклад у ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$, ми маємо:

${\displaystyle (x^{2}+1)=(x+1)^{2}\,}$

Незвідність многочлена над цілими числами ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ пов'язана з незвідністю у полі ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ з ${\displaystyle p}$ елементів (для простого числа ${\displaystyle p}$). А саме, якщо многочлен ${\displaystyle p(x)}$ над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ з старшим коефіцієнтом ${\displaystyle 1}$ є звідним у ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ тоді він є звідним у ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ для будь-якого простого числа ${\displaystyle p}$. Зворотне твердження невірне.

• Незвідний елемент
• Критерій Ейзенштейна
• Критерій Кона
• Основна теорема алгебри

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)

• Незвідний многочлен на PlanetMath.(англ.)