Навчався в західній частині Стамбулу, Сіліврі. Там він регулярно грав у футбол під час шкільних перерв та на уроках фізкультури. Вчитель фізкультури помітив його футбольний талант і порекомендував батькові Кабака записати сина у футбольну секцію. Ці ідею підтримав батько Охана, колишній футболіст-аматор, і таким чином Кабак почав займатися футболом у юнацькій команді «Сілівріспора». Спочатку грав в атаці, переважно центрального нападника[4]. Талновитому Озану дозволяли тренуватися зі старшими гравця, часто використовували в товариських матчах. Завдяки успішній грі в юнацькій команді «Сілівріспора» тренер молодіжної команди запропонував послуги Кабака «Галатасараю», які вирішили запросити на перегляд талановитого юнака. У 2011 році перейшов до молодіжної академії стамбульського гранда. 1 липня 2017 року підписав з «Галатасараєм» перший професіональний контракт[5]. 12 травня 2018 року дебютував у переможному (2:0) поєдинку турецької Суперліги проти «Єні Малатьяспор»[6].
«Штутгарт»
17 січня 2019 року переїхав до представника німецької Бундесліги«Штутгарта», де підписав контракт до червня 2024 року[7]. 3 березня двічі відзначився голами у переможному (5:1) поєдинку проти «Ганновера 96», відзначившись першими голами в дорослій футбольній кар'єрі[8]. У віці 18 років 11 місяців та 7-и днях наймолодшим турецьким та третім наймолодшим гравцем «Штутгарта», який відзначився 2-а голами в одному матчі Бундесліги[9].
«Шальке 04»
30 червня 2019 року Кабак приєднався до «Шальке 04» за 15 мільйонів євро, підписавши з клубом 5-річний контракт[10].
Кар'єра в збірній
Кабака вперше викликали до збірної Туреччини U-14. Капітан збірної Туреччини U-17 на юнацькому чемпіонаті Європи U-17 2017 року[11], внесений до списку 10 талантів, за якими варто слідкувати за версією УЄФА[12]. 17 листопада 2019 року Озан дебютував у головній збірній Туреччини під час кваліфікаційного матчу Євро-2020 проти Андорри, зіграв повний матч, в якому Туреччина здобула перемогу (2:0)[13].
