Пірамідне число

Пірамідне число — просторовий різновид фігурних чисел, що представляє піраміду з багатокутною основою та заданим числом трикутних бічних сторін. Вже античні математики досліджували тетраедричні та квадратні пірамідні числа, для яких в основі лежать правильний трикутник і квадрат відповідно. Нескладно визначити числа, пов'язані з пірамідами, в основі яких лежить будь-який інший многокутник, наприклад:

Пірамідні числа визначають так:

Геометрично пірамідне число ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}}$ можна подати як піраміду з ${\displaystyle n}$ шарів (див. малюнок), кожен з яких містить від 1 (верхній шар) до ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ (нижня) куль.

За індукцією неважко довести загальну формулу для пірамідного числа, відому ще Архімеду^[1]:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6}}}$

Праву частину цієї формули можна виразити через плоскі багатокутні числа:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac {n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)}$

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М. : Просвещение, 1996. — С. 30. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

• Фігурні числа Архівовано листопад 23, 2018 на сайті Wayback Machine.
• Figurate Numbers Архівовано червень 10, 2019 на сайті Wayback Machine. на сайті MathWorld (англ.)
• Centered Polygonal Number Архівовано березень 18, 2020 на сайті Wayback Machine. на сайті MathWorld (англ.)