У дитинстві Телесненко займався легкою атлетикою, та паралельно грав за команду ЖЕКа у змаганнях на призи клубу «Шкіряний м'яч». У 12 років пішов займатися до футбольної секції на стадіоні «Спартак», а потім і до ДЮСШ «Чорноморець». Великий внесок у становлення Телесненка як футболіста зробили тренери Олег Щупаков та Георгій Кривенко. Завдяки їх зусиллям юнак досить швидко потрапив до дублюючого складу «Чорноморця», проте завоювати місце у першій команді йому довгий час не вдавалося і Андрій задовольнявся виступами за резервістів.
Врешті-решт Телесненко відгукнувся на пропозицію Віктора Зубкова приєднатися до миколаївського «Суднобудівника» та залишив Одесу. Залишив для того, щоб вже через рік повернутися та провести у «Чорноморці» чотири чудові сезони.
Однак рівень новоствореного чемпіонату України не задовольняв футболіста і він вирішив шукати щастя за кордоном. Так Телесненко опинився у фінському «Оулу», де відіграв два сезони. Цікаво, що під час міжсезоння у чемпіонаті Фінляндії Андрій встиг зіграти декілька матчів за рідний «Чорноморець», отримавши на це дозвіл керівництва клубу.
А після фінського етапу кар'єри знову була Одеса та виступи у складі «моряків». На той час «Чорноморець» переживав свій розквіт, постійно потрапляючи у трійку призері чемпіонату. Телесненко був одним з тих, хто цементував оборонні редути одеського клубу. Однак довше ніж на два сезони він у рідному місті не затримався і розпочав свій легіонерський вояж, який розпочався у беер-шевському «Хапоелі», продовжився у російському клубі «Газовик-Газпром» та зрештою закінчився у Кишиневі, де Телесненко захищав кольори місцевого «Зімбру». Молдавський етап кар'єри футболіста виявився найбільш стабільним та тривалим — лише чотирьох матчів не вистачило Андрію до заповітного числа «100», що символізувало кількість матчів к складі кишинівського клубу.
А у 2001 році досвідчений захисник у черговий раз повернувся на Батьківщину, де три роки захищав кольори овідіопольського «Дністра».
Виступи за збірну
Матчі Андрія Телесненка за національну збірну України
Ще під час останнього сезону в «Дністрі» Андрій Телесненко почав суміщати функції гравця та тренера. Згодом, після завершення активних виступів, він увійшов до тренерського штабу овідіопольців як помічник головного тренера[1]. На цій посаді Телесненко перебував до 2006 року, коли вирішив приєднатися до тренерської групи «Чорноморця»[2]. У структурі одеського клубу працює і дотепер, відповідаючи за селекційний напрям.
