Теореми Силова

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

В теорії груп, теореми Силова стверджують про існування підгруп певного порядку, визначають їх властивості. Теореми доведені норвезьким математиком Силовом в 1872 р.

Нехай ${\displaystyle G}$ — скінченна група, а ${\displaystyle p}$ — просте число, що ділить порядок ${\displaystyle G}$. Підгрупи порядку ${\displaystyle p^{t}}$ називаються ${\displaystyle p}$-підгрупами. Нехай маємо ${\displaystyle |G|=p^{n}s}$, де ${\displaystyle s}$ не ділиться на ${\displaystyle p}$. Тоді ${\displaystyle p}$-підгрупою Силова називається підгрупа ${\displaystyle G}$, що має порядок ${\displaystyle p^{n}}$.

Нехай ${\displaystyle G}$ — скінченна група. Тоді:

• ${\displaystyle p}$-підгрупа Силова існує.
• Будь-яка ${\displaystyle p}$-підгрупа міститься в деякій ${\displaystyle p}$-підгрупі Силова. Всі ${\displaystyle p}$-підгрупи Силова спряжені (тобто кожну можна представити в виді ${\displaystyle gPg^{-1}}$, де ${\displaystyle g}$ — елемент групи, а ${\displaystyle P}$ — підгрупа Силова із теореми 1).
• Кількість ${\displaystyle p}$-підгруп Силова рівне одиниці за модулем ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N_{p}\equiv 1{\pmod {p}}}$ і ділить порядок ${\displaystyle G}$.

1. Спершу доведемо, що ${\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}}\equiv m{\pmod {p}}}$

Справді здійснюючи обчислення за модулем p отримуємо:

${\displaystyle (X+1)^{p^{r}}\equiv X^{p^{r}}+1^{p^{r}}=X^{p^{r}}+1{\pmod {p}}}$

Піднісши обі частини до степеня m маємо:

${\displaystyle (X+1)^{p^{r}m}\equiv (X^{p^{r}}+1)^{m}{\pmod {p}}}$

В лівій частині коефіцієнт біля ${\displaystyle X^{p^{r}}}$ рівний ${\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}},}$ а в правій m, що й доводить твердження .

Як наслідок маємо, що ${\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}}}$ не ділиться на p, якщо на p не ділиться число m.

Нехай |G| = p^km, і Ω позначає множину підмножин G потужності p^k. Тоді маємо:

${\displaystyle |\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}\mathrm {.} }$

Розглянемо дію G на множині Ω, що полягає у лівому множенні. Тоді

${\displaystyle |\Omega |=\sum _{[o],\ o\in \Omega }|Go|\mathrm {.} }$

де сума береться по всіх орбітах множини Ω. Зрозуміло, що кількість елементів принаймні однієї з цих орбіт не ділиться на p, оскільки на p не ділиться кількість елементів множини Ω, що випливає з доведеного вище. Нехай S  — один з елементів цієї орбіти і P його стабілізатор. Тоді для величини орбіти маємо:

${\displaystyle [G:P]={\frac {|G|}{|P|}}={\frac {p^{r}m}{|P|}}}$

Для того, щоб це число не ділилося на p необхідно ${\displaystyle p^{r}||P|}$ і як наслідок p^r ≤ |P|. З іншої сторони для будь-якого ${\displaystyle x\in S}$ маємо відображення [g ↦ gx] ' ін'єктивним відображенням P в S (дане відображення є відображенням в S, оскільки P є стабілізатором S). Відповідно |P|≤p^r і, поєднуючи дві нерівності одержимо |P|= p^r '

2. Нехай H — довільна p-підгрупа G. Розглянем її дію на множині правих класів суміжності G/P лівими зсувами, де P — p-підгрупа Силова. Кількість елементів довільної нетривіальної орбіти повинно ділитися на p. Але |G/P| не ділиться на p, відповідно у дії є нерухома точка gP. Тому ${\displaystyle \forall h\in H\quad hga=ga',\quad a,a'\in P}$, а значить, ${\displaystyle h=ga'a^{-1}g^{-1}\in gPg^{-1}}$, тобто H є підгрупою деякої p-підгрупи Силова. Якщо ж H — сама є p-підгрупою Силова, то вона спряжена з P.

3. Кількість p-підгруп Силова рівна [G: N_G(P)] і, відповідно, ділить |G|. З попереднього маємо, що множина p-підгруп Силова рівна X = {gPg^-1}. Розглянемо дію P на X спряженнями. Нехай H із X — деяка нерухома точка. Тоді P і H належать нормалізатору підгрупи H і при цьому спряжені в N_G(H) як p-підгрупи Силова. Але H нормальна в своєму нормалізаторі, тому H = P и єдиною нерухомою точкою дії є P. Оскільки порядки всіх нетривіальних орбіт кратні p, одержуємо ${\displaystyle N_{p}\equiv 1{\pmod {p}}}$.

• P-група

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)