Теорія нечіткої міри розглядає узагальнені міри, в яких властивість адитивності замінюється більш слабкою властивістю монотонності. У теорії нечітких мір центральним поняттям є нечітка міра (також ємність^[1]), яке було введене Чоке^[en] в 1953 році і незалежно від нього, визначено Сугено в 1974 році в контексті нечітких інтегралів^[en]. Існує цілий ряд різних класів нечітких мір, включаючи міри правдоподібності/переконання^[en]; можливості/необхідності; і ймовірнісні міри, які є підмножиною класичних мір.

Нехай ${\displaystyle \mathbf {X} }$ — домен дискурсу^[en] , ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — клас підмножин ${\displaystyle \mathbf {X} }$, і ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$. функція ${\displaystyle g:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R} }$ така, що:

1. ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {C}}\Rightarrow g(\emptyset )=0}$
2. ${\displaystyle E\subseteq F\Rightarrow g(E)\leq g(F)}$

називається нечіткою мірою. Нечітка міра називається нормалізованою або регулярною, якщо ${\displaystyle g(\mathbf {X} )=1}$.  

Для будь-яких ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$, нечітка міра:

• адитивна, якщо ${\displaystyle g(E\cup F)=g(E)+g(F).}$ Для всіх ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$;
• супермодулярна, якщо ${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\geq g(E)+g(F)}$;
• субмодулярні^[en], якщо ${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\leq g(E)+g(F)}$;
• суперадитивна, якщо ${\displaystyle g(E\cup F)\geq g(E)+g(F)}$ для всіх ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$;
• субадитивна, якщо ${\displaystyle g(E\cup F)\leq g(E)+g(F)}$ для всіх ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$;
• симетрична, якщо ${\displaystyle |E|=|F|}$ при ${\displaystyle g(E)=g(F)}$;
• булева, якщо ${\displaystyle g(E)=0}$ або ${\displaystyle g(E)=1}$.

Розуміння властивостей нечітких мір корисно в застосуванні. Коли нечітка міра використовується для визначення такої функції, як інтеграл Сугено^[en] або інтеграл Чоке^[en], ці властивості будуть вирішальними для розуміння поведінки функції. Наприклад, інтеграл Шоке щодо адитивної нечіткої міри зводиться до інтеграла Лебега. У дискретних випадках симетричне нечітке вимірювання призведе до появи оператора впорядкованого зваженого усереднення^[en] (ВЗУ). Субмодулярні нечіткі міри призводять до появи опуклих функцій, тоді як надмодулярні нечіткі міри призводять до появи увігнутих функцій, коли вони використовуються для визначення інтеграла Хоке.

Нехай g — нечітка міра, представлення Мебіуса g задається множинною функцією M, де для кожного ${\displaystyle E,F\subseteq X}$,

${\displaystyle M(E)=\sum _{F\subseteq E}(-1)^{|E\backslash F|}g(F).}$

Еквівалентними аксіомами представлення Мебіуса є:

1. ${\displaystyle M(\emptyset )=0}$.
2. ${\displaystyle \sum _{F\subseteq E|i\in F}M(F)\geq 0}$, для всіх ${\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }$ та всіх ${\displaystyle i\in E}$

Нечітка міра у представлені Мебіуса M називається нормалізованою, якщо ${\displaystyle \sum _{E\subseteq \mathbf {X} }M(E)=1.}$

Представлення Мебіуса може бути використано, щоб показати, які підгрупи X взаємодіють один з одним. Наприклад, адитивна нечітка міра має значення Мобіуса, які дорівнюють нулю, за винятком одиночних. Нечітке вимірювання g в стандартному поданні може бути відновлено з форми Мёбіуса за допомогою трансформації Зета:

${\displaystyle g(E)=\sum _{F\subseteq E}M(F),\forall E\subseteq \mathbf {X} .}$

Нечіткі міри визначаються на півкільцях множин або монотоних класах, які можуть бути настільки ж гранулярними, як булеан X, і навіть, у дискретних випадках, число змінних може бути дуже великим, як 2^|X|. З цієї причини, у контексті багатокритеріального аналізу рішень^[en] та інших дисциплін, були запроваджені спрощення припущення щодо нечіткої міри, щоб визначити та використовувати їх менш обчислювально. Наприклад, коли ми кажемо, що нечітка міра є адитивною, буде мати місце рівність ${\displaystyle g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})}$ і значення нечіткої міри можуть бути оцінені з значень на X. Аналогічно, симетрична нечітка міра визначається однозначно |X| значеннями. Двома важливими нечіткими мірами, які можуть бути використані, Сугено або ${\displaystyle \lambda }$ — нечітка міра і k-адитивні міри, введені Сугену^[2] і Грабішем^[3] відповідно.

${\displaystyle \lambda }$ — міра Сугено є особливим випадком нечітких мір, визначених ітераційно. Воно має таке визначення:

Нехай ${\displaystyle \mathbf {X} =\left\lbrace x_{1},\dots ,x_{n}\right\rbrace }$ — скінченна множина і нехай ${\displaystyle \lambda \in (-1,+\infty )}$. ${\displaystyle \lambda }$ — міра Сугено є функцією ${\displaystyle g:2^{X}\to [0,1]}$ такою, що

1. ${\displaystyle g(X)=1}$.
2. якщо ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbf {X} }$ (альтернативно ${\displaystyle A,B\in 2^{\mathbf {X} }}$) і ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ то ${\displaystyle g(A\cup B)=g(A)+g(B)+\lambda g(A)g(B)}$.

Як умова, значення g при однотонній множині ${\displaystyle \left\lbrace x_{i}\right\rbrace }$ називається щільністю і позначається ${\displaystyle g_{i}=g(\left\lbrace x_{i}\right\rbrace )}$ . Крім того, ми маємо що ${\displaystyle \lambda }$ задовольняє властивість

${\displaystyle \lambda +1=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda g_{i})}$.

Тахані і Келлер^[4], а також Ванг і Клір показали, що коли відомі щільності, можна використовувати попередній поліном, щоб отримати значення ${\displaystyle \lambda }$ однозначно.

K-адитивна нечітка міра обмежує взаємодію між підмножинами ${\displaystyle E\subseteq X}$ до розміру ${\displaystyle |E|=k}$. Це різко знижує кількість змінних, необхідних для визначення нечіткої міри, і оскільки k може бути будь-яким від 1 (в цьому випадку нечітка міра є адитивною) до X, це дозволяє досягти компромісу між здатністю до моделювання та простотою.

Дискретна нечітка міра g на множині X називається k-адитивною (${\displaystyle 1\leq k\leq |\mathbf {X} |}$) якщо її представлення Мебіуса дає ${\displaystyle M(E)=0}$, коли ${\displaystyle |E|>k}$ для будь-якого ${\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }$ та існує підмножина F з елементами k, така що ${\displaystyle M(F)\neq 0}$.

У теорії ігор значення Шеплі або просто «Шеплі» використовується для позначення ціни гри. Значення Шеплі можуть бути розраховані для нечітких заходів для того, щоб дати деяку вказівку на важливість кожного одиночного. У випадку адитивних нечітких вимірювань значення Шеплі буде таким же, як і кожне окреме.

Для даного нечіткої міри g і ${\displaystyle |\mathbf {X} |=n}$ , індекс Шеплі для кожного ${\displaystyle i,\dots ,n\in X}$ є:

${\displaystyle \phi (i)=\sum _{E\subseteq \mathbf {X} \backslash \{i\}}{\frac {(n-|E|-1)!|E|!}{n!}}[g(E\cup \{i\})-g(E)].}$

Значення Шеплі — вектор ${\displaystyle \mathbf {\phi } (g)=(\psi (1),\dots ,\psi (n)).}$

• Теорія ймовірностей
• Теорія можливостей

• Beliakov, Pradera and Calvo, Aggregation Functions: A Guide for Practitioners, Springer, New York 2007.
• Wang, Zhenyuan, and, George J. Klir, Fuzzy Measure Theory, Plenum Press, New York, 1991.

• Fuzzy Measure Theory at Fuzzy Image Processing [Архівовано 30 червня 2019 у Wayback Machine.]