Формула сумування Абеля

Фо́рмула суму́вання А́беля, яку ввів норвезький математик Нільс Генрік Абель, часто застосовується в теорії чисел для оцінення сум скінченних і нескінченних рядів.

Нехай ${\displaystyle a_{n}}$ — послідовність дійсних або комплексних чисел і ${\displaystyle f(x)}$ — неперервно диференційовна на промені ${\displaystyle [1,x)}$ функція. Тоді

${\displaystyle \sum _{1\leqslant n\leqslant x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u}$

де

${\displaystyle A(x):=\sum _{0<n\leqslant x}a_{n}\,.}$

В загальному випадку, якщо ${\displaystyle f(x)}$ є неперервно диференційовною на ${\displaystyle [x,y)}$ то

${\displaystyle \sum _{x<n\leqslant y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u\,.}$

Якщо часткові суми ряду ${\displaystyle a_{n}}$ обмежені, а ${\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }f(x)=0}$, то граничним переходом можна отримати таку рівність

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}f(n)=-\int \limits _{1}^{+\infty }A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u}$

Доведення

Подамо обидві частини рівності як функції від ${\displaystyle x}$. По-перше, зауважимо, що з ${\displaystyle x=1}$ рівність істинна (інтеграл перетворюється в нуль). По-друге, за нецілих ${\displaystyle x}$ обидві частини можна продиференціювати, отримавши правильну рівність. Нарешті, при цілому ${\displaystyle x}$ ліва частина має стрибок ${\displaystyle a_{x}f(x)}$, такий самий стрибок має функція ${\displaystyle A(x)f(x)}$, а інтеграл неперервний, тобто має стрибок рівний нулю. Таким чином, формулу доведено для всіх ${\displaystyle x\geq 1}$.

Для ${\displaystyle a_{n}=1}$ і ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\,,}$ легко бачити, що ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ тоді

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\mathrm {ln} (x)-\int _{1}^{x}{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\mathrm {d} u}$

переносячи в ліву частину логарифм і переходячи до границі, отримуємо вираз для сталої Ейлера — Маскероні:

${\displaystyle \gamma =1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\,du}$, де ${\displaystyle \left\{t\right\}}$ — дробова частина число ${\displaystyle t}$.

Для ${\displaystyle a_{n}=1}$ і ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}$ аналогічно ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ тоді

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u=s\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {u}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\right)=1+{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

Цю формулу можна використовувати для визначення дзета-функції в області ${\displaystyle \Re (s)>0,}$ оскільки в цьому випадку інтеграл збігається абсолютно. Крім того, з неї випливає, що ${\displaystyle \zeta (s)}$ має простий полюс із лишком 1 у точці s = 1.

У загальному випадку, якщо ${\displaystyle f(x)}$ є неперервно диференційовною на ${\displaystyle [x,y)}$ і всі ${\displaystyle a_{n}=1}$ (тоді також ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$) то:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x<n\leqslant y}f(n)&=f(y)\lfloor y\rfloor -f(x)\lfloor x\rfloor -\int _{x}^{y}\lfloor u\rfloor f'(u)\,\mathrm {d} u\,=\\&=f(y)(y-\{y\})-f(x)(x-\{x\})-\int _{x}^{y}(u-\{u\})f'(u)\,\mathrm {d} u\,=\\&=f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\int _{x}^{y}\{u\}f'(u)\,\mathrm {d} u+f(y)y-f(x)x-\int _{x}^{y}uf'(u)\,=\\&=f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\int _{x}^{y}\{u\}f'(u)\,\mathrm {d} u+\int _{x}^{y}f(u).\end{aligned}}}$

Для доведення останньої рівності використано інтегрування частинами.

Рівність

${\displaystyle \sum _{x<n\leqslant y}f(n)=f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\int _{x}^{y}\{u\}f'(u)\,\mathrm {d} u+\int _{x}^{y}f(u)\,\mathrm {d} u}$

називається формулою сумування Ейлера — Маклорена. Якщо ${\displaystyle x,y}$ є цілими числами, то вона є найпростішим випадком формул Ейлера — Маклорена. Дана формула часто використовується у аналітичній теорії чисел. Зокрема приклади вище є частковими випадками цієї формули.

Інший важливий приклад застосування можна отримати, якщо взяти ${\displaystyle x=1}$ і ${\displaystyle f(u)=\ln u.}$ Тоді

${\displaystyle \sum _{n\leqslant y}\ln n=\int _{1}^{y}\ln u\,\mathrm {d} u+\int _{1}^{y}{\frac {\{u\}}{u}}\,\mathrm {d} u-\{y\}\ln y.}$

Перший доданок у правій частині є рівним ${\displaystyle y\ln y-y,}$ а два інші є ${\displaystyle O(\ln y).}$ Отже остаточно:

${\displaystyle \sum _{n\leqslant y}\ln n=y\ln y-y+O(\ln y).}$

• Apostol, Tom (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag