Функція помилок

Функція помилок або Функція помилок Гаусса^[1] — це неелементарна функція, що використовується в теорії ймовірності, статистиці, математичній фізиці і визначається як

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$.

У багатьох із цих застосувань аргументом функції є дійсне число. Якщо аргумент функції є дійсним, то значення функції також є дійсним.

У статистиці для невід'ємних значень x функція помилок має таке трактування: для випадкової величини Y, яка має нормальний розподіл із математичним сподіванням 0 та дисперсією 1⁄√2, erf x — це ймовірність того, що Y потрапляє в інтервал [−x, x].

Доповнювальна функція помилок, що позначається ${\displaystyle \operatorname {erfc} \,x}$ (іноді застосовується позначення ${\displaystyle \operatorname {Erf} \,x}$) визначається через функцію помилок:

${\displaystyle \operatorname {erfc} \,x=1-\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$.

Уявна функція помилок, що позначається ${\displaystyle w(x)}$, також визначається через функцію помилок:

${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} \,(-ix)}$.

Назва «функція помилок» та її абревіатура erf запропоновані Джеймсом Глейшером^[en] в 1871 р. через її зв'язок з «теорією ймовірності, і особливо теорією помилок»^[2]. Доповнювальні функції помилок також обговорювалося Глейшером того ж року в окремій публікації.^[3] Для «закону об'єкта» помилок, щільність якого має вигляд

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\tfrac {1}{2}}{\rm {e}}^{-cx^{2}}}$

(нормальний розподіл), Глейшер обчислював ймовірність помилки, що лежить між ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$, як

${\displaystyle \left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\tfrac {1}{2}}\int _{p}^{q}{\rm {e}}^{-cx^{2}}\,{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \left(q{\sqrt {c}}\right)-\operatorname {erf} \left(p{\sqrt {c}}\right)\right).}$

Якщо результати серії вимірювань описуються нормальним розподілом із середньоквадратичним відхиленням ${\displaystyle \sigma }$ та математичним сподіванням 0, то ${\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$ — це ймовірність того, що похибка одного вимірювання лежить між −a та +a, при додатному a. Це корисно, наприклад, при визначенні коефіцієнта бітових помилок цифрової системи зв'язку. Функцію помилок та доповнювальну функцію помилок застосовують, наприклад, у розв'язках рівняння теплопровідності, якщо граничні умови задаються функцією Гевісайда. Функцію помилок та її наближення можна використовувати для оцінки результатів, які мають місце з великою ймовірністю^[en] або з низькою ймовірністю. Нехай задана випадкова величина ${\displaystyle X\sim \operatorname {Norm} [\mu ,\sigma ]}$ і константа ${\displaystyle L<\mu }$, тоді

${\displaystyle \Pr[X\leq L]={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\approx A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}$,

де A і B — деякі числові константи. Якщо L достатньо далека від математичного сподівання, тобто ${\displaystyle \mu -L\geq \sigma {\sqrt {\ln {k}}}}$, тоді

${\displaystyle \Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln {k})={\frac {A}{k^{B}}}}$,

і ймовірність прямує до 0, якщо ${\displaystyle k\to \infty }$.

• Функція помилок непарна:

${\displaystyle \operatorname {erf} \,(-x)=-\operatorname {erf} \,x}$.

• Для будь-якого комплексного ${\displaystyle x}$ виконується

${\displaystyle \operatorname {erf} \,{\bar {x}}={\overline {\operatorname {erf} \,x}}}$

де риска позначає комплексне спряження числа ${\displaystyle x}$.

• Підінтегральні функції ${\displaystyle f=\exp(-z^{2})}$ та ${\displaystyle f=\operatorname {erf} (z)}$ зображено в комплексній площині z на рисунках.

Рівень ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)=0}$ показано товстою зеленою лінією. Від'ємні цілі значення ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)}$ показано товстими червоними лініями. Додатні цілі значення ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)}$ показано товстими синіми лініями. Проміжні рівні ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)={\rm {const}}}$ показано тонкими зеленими лініями. Проміжні рівні ${\displaystyle \operatorname {Re} (f)={\rm {const}}}$ показано тонкими червоними лініями для від'ємних значень і тонкими синіми лініями для додатних значень.

• Функція помилок не може бути представлена через елементарні функції, але, розкладаючи інтегрований вираз в ряд Тейлора і інтегруючи почленно, ми можемо одержати її подання у вигляді ряду:

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}$

Ця рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого дійсного ${\displaystyle x}$, так і на всій комплексній площині. Послідовність знаменників утворює послідовність A007680 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

• Для ітеративного обчислення елементів ряду корисно представити його в альтернативному вигляді:

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(x\prod _{i=1}^{n}{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {-x^{2}}{i}}}$,

оскільки ${\displaystyle {\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}$ — співмножник, що перетворює ${\displaystyle i}$-й член ряду в ${\displaystyle (i+1)}$-й, вважаючи першим членом ${\displaystyle x}$.

• Уявна функція помилок має дуже схожий ряд Маклорена, а саме

${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)}$,

для будь-якого комплексного числа z.

• Функція помилок на нескінченності рівна одиниці; проте це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, оскільки:

• При розгляді функції помилок в комплексній площині точка ${\displaystyle z=\infty }$ буде для неї істотно особливою.

• Похідна функції помилок виводиться безпосередньо з визначення функції:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\rm {e}}^{-z^{2}}}$.

Звідси похідна уявної функції помилок:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\rm {e}}^{z^{2}}}$.

Первісною функції помилок, яку можна отримати за допомогою інтегрування частинами, є

${\displaystyle z\operatorname {erf} (z)+{\frac {{\rm {e}}^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}$.

Первісною уявної функції помилок, яку також можна отримати інтегруванням частинами, є

${\displaystyle z\operatorname {erfi} (z)-{\frac {{\rm {e}}^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}$.

Похідні вищих порядків задаються формулами

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}(z)={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{H}_{k-1}(z){\rm {e}}^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {{\rm {d}}^{k-1}}{{\rm {d}}z^{k-1}}}\left({\rm {e}}^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots }$

де ${\displaystyle {\mathit {H}}}$ — це поліноми Ерміта^[4].

• Розклад^[5], який збігається швидше для всіх дійсних значень ${\displaystyle x}$ ніж ряд Тейлора, отримується за допомогою теореми Ганса Генріха Бюрмана^[en][6]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-{\rm {e}}^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)^{4}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-{\rm {e}}^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}{\rm {e}}^{-kx^{2}}\right)\end{aligned}}}$

(${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ — це signum-функція). Зберігаючи лише перші два коефіцієнти та вибираючи ${\displaystyle c_{1}={\frac {31}{200}}}$ та ${\displaystyle c_{2}=-{\frac {341}{8000}}}$, отримане наближення показує свою найбільшу відносну похибку при ${\displaystyle x=\pm 1{,}3796}$, яка менша ніж ${\displaystyle 3{,}6127\cdot 10^{-3}}$:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} (x){\sqrt {1-{\rm {e}}^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}{\rm {e}}^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}{\rm {e}}^{-2x^{2}}\right)}$.

• Обернена функція помилок є рядом

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1}\,\!}$,

де c₀ = 1 і

${\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}}$.

Тому ряд можна подати в наступному вигляді (помітимо, що дроби скорочені):

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3}}{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+{\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\dots \right)\,\!}$[1].

Послідовності чисельників і знаменників після скорочення — A092676 і A132467 у OEIS; послідовність чисельників до скорочення — A002067 у OEIS.

При |z| < 1 має місце співвідношення ${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}(z)\right)=z}$.

Обернена доповнювальна функція помилок визначається як

${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z)}$.

Для дійсного x існує єдине дійсне число ${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$, що ${\displaystyle \operatorname {erfi} \left(\operatorname {erfi} ^{-1}(x)\right)=x}$. Обернена уявна функція помилок визначається як ${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$^[7].

Для будь-якого дійсного x можна використовувати метод Ньютона для обчислення ${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$, а при ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ наступний ряд Макролена є збіжним:

${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1}}$,

де коефіцієнти c_k визначені вище.

Корисним асимптотичним розкладом доповнювальної функції помилок (а отже, і функції помилок) для великих дійсних ${\displaystyle x}$ є

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}}$,

де (2n – 1)!! — подвійний факторіал числа (2n – 1), який є добутком усіх непарних чисел до (2n – 1) включно. Цей ряд розбігається для будь-якого скінченного ${\displaystyle x}$, і його зміст як асимптотичного розкладу полягає в тому, що для будь-якого ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}+R_{N}(x)}$,

де залишок, в позначеннях O великого,

${\displaystyle R_{N}(x)=O\left(x^{1-2N}{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)}$

при ${\displaystyle x\to \infty .}$

Дійсно, точне значення залишку становить

${\displaystyle R_{N}(x)={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}{\rm {e}}^{-t^{2}}\,{\rm {d}}t}$,

яке легко отримується за допомогою індукції з використанням формули

${\displaystyle {\rm {e}}^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}\left({\rm {e}}^{-t^{2}}\right)'}$

та інтегрування частинами.

Для досить великих значень ${\displaystyle x}$ потрібні лише перші кілька членів цього асимптотичного розкладу, щоб отримати гарне наближення для функції ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$ (тоді як для не надто великих значень ${\displaystyle x}$ вищенаведений ряд Тейлора у точці ${\displaystyle 0}$ забезпечує більш швидку збіжність).

Представлення доповнювальної функції помилок через ланцюговий дріб має вигляд^[8]Ж

${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}{\rm {e}}^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}}\qquad a_{m}={\frac {m}{2}}.}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {erf} \left(ax+b\right){\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\rm {e}}^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,{\rm {d}}x=\operatorname {erf} \left[{\frac {a\mu +b}{\sqrt {1+2a^{2}\sigma ^{2}}}}\right],\qquad a,b,\mu ,\sigma \in \mathbb {R} }$

який отриманий Нг та Геллером за допомогою зміни змінних, формула 13 у параграфі 4.3^[9].

• Обернений факторіальний ряд

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} z&={\frac {{\rm {e}}^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}Q_{n}}{{(z^{2}+1)}^{\bar {n}}}}\\&={\frac {{\rm {e}}^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$

є збіжним при ${\displaystyle \operatorname {Re} (z^{2})>0}$. Тут

${\displaystyle Q_{n}{\stackrel {\text{def}}{=}}{\frac {1}{\Gamma (1/2)}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-1/2}{\rm {e}}^{-\tau }\,{\rm {d}}\tau =\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\bar {k}}s(n,k),}$

через ${\displaystyle z^{\bar {n}}}$ позначено зростаючий факторіал, а ${\displaystyle s(n,k)}$ — число Стірлінга першого роду^[10][11]

• Представлення нескінченною сумою, що містить подвійний факторіал:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}$.

З точністю до масштабу і зсуву, функція помилок збігається з функцією розподілу ймовірностей нормального розподілу, що позначається ${\displaystyle \Phi (x)}$:

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\,}$.

Зворотна функція до ${\displaystyle \Phi }$, відома як нормальна квантильна функція, іноді позначається ${\displaystyle \operatorname {probit} }$ і виражається через нормальну функцію помилок як

${\displaystyle \operatorname {probit} \,p=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}},\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)}$.

Нормальний інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірності і математичній статистиці, тоді як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.

Функція помилок є окремим випадком функції Міттаг-Лефлера, а також може бути представлена як вироджена гіпергеометрична функція (функція Куммера):

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right)}$.

Функція помилок виражається також через інтеграл Френеля. У термінах регуляризованої неповної гамма-функції P і неповної гамма-функції

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x=\operatorname {sign} \,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sign} \,x \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}$.

Також можна розглянути загальніші функції:

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{n}},\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}(np+1)p!}{,}}.}$

Окремими вартими уваги випадками є:

• ${\displaystyle E_{0}(x)}$ — пряма лінія, що проходить через початок координат: ${\displaystyle E_{0}(x)={\frac {x}{e}}{\sqrt {\pi }}}$
• ${\displaystyle E_{2}(x)}$ — функція помилок ${\displaystyle \operatorname {erf} ,x}$.

Після ділення на ${\displaystyle n!}$ всі ${\displaystyle E_{n}}$ з непарними ${\displaystyle n}$ виглядають схоже (але не ідентично). Всі ${\displaystyle E_{n}}$ з парними ${\displaystyle n}$ теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на ${\displaystyle n!}$. Всі узагальнені функції помилок з ${\displaystyle n>0}$ виглядають схоже на напівосі ${\displaystyle x>0}$.

На напівосі ${\displaystyle x>0}$ всі узагальнені функції можуть бути виражені через гамма-функцію:

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {x\left(x^{n}\right)^{-1/n}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\qquad x>0}$

Отже, ми можемо виразити функцію помилок через гамма-функцію:

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}}$.

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок визначаються як

${\displaystyle i^{n}\,\operatorname {erfc} ,z=\int \limits _{z}^{\infty }i^{n-1},\operatorname {erfc} ,\zeta \,\mathrm {d} \zeta .\,}$

Їх можна розкласти в ряд:

${\displaystyle i^{n}\,\operatorname {erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,}$.

звідки випливають властивості симетрії

${\displaystyle i^{2m}\,\operatorname {erfc} \,(-z)=-i^{2m}\,\operatorname {erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$

і

${\displaystyle i^{2m+1}\,\operatorname {erfc} \,(-z)=i^{2m+1}\,\operatorname {erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,}$.

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.