Розпочав займатися футболом з 3-річного віку[2]. Вихованець молодіжної академії клубу ГФ з рідного міста Гапнарфйордур[3]. 20 липня 2013 року дебютував в Урвалсдейлді в переможному (4:0) поєдинку проти «Кеплавіка», в якому вийшов на поле на 75-й хвилині, замінивши Бйорна Данієля Сверріссона. У сезоні 2014 року розпочав регулярно виходити на поле в матчах чемпіонату Ісландії. У квітні 2014 року став володарем Кубку ісландської ліги, у фіналі турніру клуб Бодвара переміг «Брєйдаблік» (4:1)[4]. У липні 2014 року дебютував у єврокубках у першому матчі з «Гленавоном» (3:0) у кваліфікації Ліги Європи 2014/15. У 2015 році разом з ФГ став переможцем національного чемпіонату[5]. У лютому 2016 року на правах оренди перейшов до данського «Мідтьюлланну» (Суперліга), де не зіграв жодного поєдинку в національному чемпіонаті й через 3 місяці повернувся до рідного клубу[6][7]. У сезоні 2016 року завоював своє друге чемпіонство Ісландії[8][5].
У лютому 2018 року Борварссон підписав 3,5-річний контракт з «Ягеллонією» (Білосток), яку тренував Іренеуша Мамрот[9][10]. Таким чином, Бодвар став першим ісландцем в історії Екстракляси[11].
Кар'єра в збірній
У 2014 році зіграв 2 поєдинки у збірній Ісландії U-19. У 2015—2016 роках виступав у команді U-21, в складі якої провів 11 поєдинків.