При́нцип Га́мільтона — у механіці системи матеріальних точок означає таке:
Перехід з одного стану в інший за заданий інтервал часу відбувається для системи такого роду так, що перша варіація функціонала
дорівнює нулю: рух системи здійснюється функціями, які серед всіх допустимих рухів роблять згаданий вище інтеграл стаціонарним, тобто рівняння руху системи збігається з рівнянням Ойлера-Лаґранжа для функціонала . При цьому означає кінетичну, а — потенційну енергії системи, а — функцію Лагранжа. Інтерес тут фокусується в першу чергу на зверненні першої варіації функціонала у нуль, а не на питанні про екстремум. Завдання такого роду також називають варіаційними завданнями.
Принцип Гамільтона є одним із формулювань принципу найменшої дії.
Приклад
Нехай матеріальна точка рухається під впливом сили тяжіння (вільне падіння). При цьому для кінетичної і потенційної енергії мають місце формули:
( — маса, — висота точки до часу )
Інтеграл для функції Лагранжа:
Згідно з принципом Гамільтона рівняння руху системи є рівняння Ейлера-Лаґранжа для функціонала :
,
тобто
таким чином
Це — рівняння руху для вільного падіння.
Відомий з механіки принцип Гамільтона можна перенести і на інші фізичні процеси, так що варіаційні принципи є загальним методом складання рівнянь у математичній фізиці.
Інші завдання
Разом із завданнями для функціоналів вигляду
існують також і інші постановки завдань.
Як необхідні умови екстремуму указуються тільки рівняння Ойлера-Лаґранжа. Існують і інші необхідні умови, аналогічні приведеним вище.
Значення
Варіаційне числення грає основоположну роль в складанні рівнянь механіки і теоретичної фізики. Більшість цих рівнянь можуть бути отримані на основі варіаційного принципу за допомогою поняття енергії.
Див. також
Література
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.