Локон Аньєзі

Локон Аньєзі (також верзієра Аньєзі , кубіка Аньєзі, дзвоноподібна крива Коші ^[1]) — плоска алгебрична раціональна крива третього порядку, що визначається двома діаметрально протилежними точками кола.

Означення

• Нехай дано коло діаметром ${\displaystyle OA}$ з опорною точкою ${\displaystyle O=(0;0)}$ в початку координат. Січна ${\displaystyle OL}$ (дотична до кола ${\displaystyle AL\parallel Ox}$) перетинає це коло в точці ${\displaystyle C}$. Проведено прямі ${\displaystyle CM\perp OA}$ та ${\displaystyle LM\parallel OA}$. Геометричне місце точок ${\displaystyle M}$ перетину цих прямих є локоном Аньєзі.^{[2] :стор.237}

• Також, локон Аньєзі  ^{[3] :стор.806 ; [4] :стор.89} — геометричне місце точок ${\displaystyle M}$, для яких виконується співвідношення ${\displaystyle \textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}}$

де ${\displaystyle OA}$ — діаметр кола;
${\displaystyle BC}$ — напівхорда цього кола, перпендикулярна до ${\displaystyle OA}$.

Свою назву "локон Аньєзі" крива отримала на честь італійської математикині Марії Гаетани Аньєзі, яка досліджувала цю криву.

Лінія четвертого порядку, що складається з локона Аньєзі та прямої, що збігається з віссю абсцис, є одним з випадків кривих, під назвою яйце Гренвіля

Нехай твірне коло локона Аньєзі має точку опори ${\displaystyle O=(0,0)}$, в початку координат. Діаметрально протилежна точка кола ${\displaystyle A=(0,a)}$ лежить на осі ${\displaystyle Oy}$, тобто діаметр твірного кола дорівнює ${\displaystyle OA=a}$.
Тоді локон Аньєзі має наступні рівняння:

• У декартовій системі координат:

${\displaystyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}}$.

або ж:

${\displaystyle x^{2}y=a^{2}\cdot (a-y)}$.

При ${\displaystyle a=1}$ рівняння кривої матиме вигляд:

${\displaystyle y={\frac {1}{1+x^{2}}}}$.

Ця крива є графіком похідної функції арктангенса. ^[5]

• Параметричне рівняння в декартовій системі координат ^{[2] :стор.238}:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=a\cdot \operatorname {tg} \,\varphi \\y(\varphi )=a\cdot \cos ^{2}\varphi \end{cases}}\,\qquad -{\frac {\pi }{2}}<\varphi <{\frac {\pi }{2}}}$,

де параметр ${\displaystyle \varphi =\angle AOC}$ — кут між ${\displaystyle OA}$ і ${\displaystyle OC}$; точці ${\displaystyle A}$ відповідає значення ${\displaystyle \varphi =0}$.

• Раціональна параметризація для кривої має вигляд:

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\cdot t\\y(t)={\frac {a}{1+t^{2}}}\end{cases}}\,;\qquad -\infty <t<+\infty }$ ;

• У полярній системі координат рівняння локону досить складне; щоб його знайти, треба розв'язати кубічне рівняння:

${\displaystyle \textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$

${\displaystyle \textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0}$

Однак отримана формула буде занадто складною і невкладистою, щоб мати якесь практичне значення.

• Локон Аньєзі — алгебрична раціональна крива третього порядку.
  

Згідно класифікації Ньютона кривих третього порядку, локон Аньєзі є гіперболізмом кола та має нескінченно віддалену ізольовану точку на осі ${\displaystyle Oy}$.^{[6] :стор.214}

• Діаметр ${\displaystyle OA}$ єдина вісь симетрії кривої. Вісь ${\displaystyle Ox}$ (дотична до твірного кола в його точці опори) — асимптота локона Аньєзі.
• Крива має один максимум — ${\displaystyle A(0;a)}$ і дві точки перегину, що відповідають параметричним кутам ${\displaystyle \varphi =\pm {\frac {\pi }{6}}}$ та мають координати  : ${\displaystyle \textstyle P_{1}\left(-{\frac {a}{\sqrt {3}}};{\frac {3a}{4}}\right)}$ та ${\displaystyle \textstyle P_{2}\left({\frac {a}{\sqrt {3}}};{\frac {3a}{4}}\right)}$. ^{[7] [8] :стор.238}
  

Точки перегину лежать на прямих ${\displaystyle y=\pm {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\cdot x}$

Кути ${\displaystyle \alpha _{1}}$ та ${\displaystyle \alpha _{2}}$ між дотичними в точках перегину ${\displaystyle P_{1}}$ та ${\displaystyle P_{2}}$ та додатнім напрямом осі ${\displaystyle Ox}$ можна визначити за формулами:

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha _{1,2}=\mp {\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}}$

Для побудови дотичних ${\displaystyle P_{1}F}$ та ${\displaystyle P_{2}F}$ достатньо відкласти відрізок ${\displaystyle AF={\frac {a}{8}}}$ на продовженні діаметра ${\displaystyle OA}$ (у випадку представлених вище рівнянь кривої — точка ${\displaystyle F}$ знаходиться на осі ${\displaystyle Oy}$ та має координати ${\displaystyle F=\left(0\,;\,a+{\frac {a}{8}}\right)}$).

• В околі вершини ${\displaystyle A}$ локон наближається до кола діаметром ${\displaystyle OA}$. У точці ${\displaystyle A}$ відбувається дотик, і крива збігається з колом. Це показує значення радіуса кривини в точці ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle \textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}}$.
  

Центр кривини кривої в точці ${\displaystyle A}$ збігається з центром твірного кола.

• Площа під графіком (між кривою і асимптотою): ${\displaystyle S=\pi a^{2}}$. ^{[7] [8] :стор.238 [9]}
  

Вона обчислюється інтегруванням рівняння по всій числовій прямій ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$ ^[10], і дорівнює площі визначального круга, помноженій на 4.

• Центр мас фігури, що обмежена кривою та її асимптотою лежить на осі симетріі, на відстані ${\displaystyle {\frac {a}{4}}}$ від асимптоти, . (у випадку представлених вище рівнянь кривої — центр мас знаходиться на осі ${\displaystyle Oy}$ та має координати ${\displaystyle \left(0\,;\,{\frac {a}{4}}\right)}$).^{[8] :стор.238}

• Найбільший за площею прямокутник, який можна вписати між кривою та її асимптотою, має висоту, що дорівнює радіусу визначального кола, і ширину, що дорівнює подвоєному діаметру кола. Його площа: ${\displaystyle S=a^{2}}$. ^[9]
• Об'єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо своєї асимптоти (осі ${\displaystyle Ox}$): ${\displaystyle \textstyle V={\frac {\pi ^{2}}{2}}\cdot a^{3}}$.^{[7] [8] :стор.238} .
  

Цей об'єм вдвічі більший за об'єм тора, утвореного при обертанні визначального кола локона Аньєзі навколо цієї ж прямої.^[9]
Об'єм тіла, утвореного при обертанні локона Аньєзі навколо осі симетрії (в нашому випадку навколо осі ${\displaystyle Oy}$) має нескінченне значення.^{[3] :стор.760}

Побудова локону Аньєзі

1. Будуємо коло діаметром ${\displaystyle OA=a}$ і через нижню точку кола О проводимо дотичну Ox.
2. Через верхню точку кола A (діаметрально протилежну до О) проводимо пряму, паралельну до Ох.
3. Через точку О проводимо січну ОL, яка перетинає коло в точці C і верхню пряму в точці L.
4. Через точку C проводимо пряму, паралельну до Ох, а через L проводимо пряму, паралельну до діаметра ОA. Ці дві прямі перетинаються в точці M, яка належить локону Аньєзі.

• Коли точка ${\displaystyle M}$ окреслює локон Аньєзі (див. означення локона Аньєзі вище), то точка, що знаходиться в середині відрізка ${\displaystyle CL}$ окреслить криву

${\displaystyle (2y-a)\cdot (x^{2}+y^{2})=a\cdot y^{2}}$.

Цю криву називають візієрою Пеано або супровідною цисоїди^{[6] :стор.214, п.1}

Параметричні рівняння цієї кривої:

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)={\frac {a\cdot t\cdot (t^{2}+2)}{2(t^{2}+1)}}\\y(t)={\frac {a\cdot (t^{2}+2)}{2(t^{2}+1)}}\end{cases}}\,;\qquad -\infty <t<+\infty }$ .

де ${\displaystyle OA=a}$ — діаметр твірного кола локона Аньєзі (також і візієри Пеано); ' Візієра має ізольовану точку ${\displaystyle O=(0;0)}$ та асимптоту ${\displaystyle y={\frac {a}{2}}}$

Візієра має один максимум в точці ${\displaystyle A=(0;a)}$ та дві точки перегину, що мають координати  : ${\displaystyle \textstyle Q_{1,2}=\left(\pm {\frac {4a}{5}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{3}}};{\frac {4a}{5}}\right)}$.

Площа, що міститься між візієрою та її асимптотою дорівнює ${\displaystyle S=5\pi a^{2}}$.

Побудова ^{[6] :стор.214, п.3}
Пряма ${\displaystyle \ell }$, що проходить через початок координат, перетинає коло ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2r\cdot y}$ в точці ${\displaystyle E}$, а пряму ${\displaystyle y=2r}$ — в точці ${\displaystyle F}$. Через проєкцію ${\displaystyle C}$ точки ${\displaystyle F}$ на вісь ${\displaystyle Ox}$ проведено пряму, що паралельна до ${\displaystyle \ell }$.
Точка ${\displaystyle P}$ її перетину з перпендикуляром із ${\displaystyle E}$ на ${\displaystyle Oy}$ належить візієрі

${\displaystyle x^{2}\cdot y=(2r+y)^{2}\cdot (2r-y)}$.

• В колі ${\displaystyle K}$ з центром ${\displaystyle C}$ та радіусом ${\displaystyle r}$проведено хорду ${\displaystyle OB}$. Кут між ${\displaystyle CO}$ та ${\displaystyle OB}$ дорівнює ${\displaystyle \alpha }$. Змінна пряма ${\displaystyle \ell }$, що проведена через ${\displaystyle O}$, перетинає коло в точці ${\displaystyle D}$, і в точці ${\displaystyle E}$ дотичну до кола в його точці ${\displaystyle B}$. На прямій ${\displaystyle \ell }$ відкладаємо відрізок ${\displaystyle EP}$, що дорівнює ${\displaystyle OD}$ ( в тому ж напрямі).
  

Точка ${\displaystyle P}$ окреслює криву

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})\cdot (x\cdot \cos \alpha +y\cdot \sin \alpha -4r\cdot \cos ^{2}\alpha )+2r\cdot y^{2}=0}$,

яку називають косою візієрою (за вісь ${\displaystyle Ox}$ прийнято пряму ${\displaystyle OB}$; початок координат знаходиться в точці ${\displaystyle O}$).

Подвійна точка ${\displaystyle O}$ є або вузловою, або точкою звороту, або ізольованою, в залежності від співвідношення ${\displaystyle \alpha \lesseqgtr {\frac {\pi }{4}}}$.

Особливий фокус кривої знаходиться в центрі кола ${\displaystyle K}$. А окремому випадку, при ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$, крива є цисоїдою.^{[6] :стор.214 - 215, п.4}

• Псевдоверзієра (також псевдо-локон) .^{[11] :стор.290 ;}

^{[2] :стор.238 ; [6] :стор.215, п.5} — крива, що утворюється шляхом подвоєння ординат локона Аньєзі.

Означення Нехай з точки ${\displaystyle D=(0;2a)}$ проведено перпендикуляр ${\displaystyle DN}$ на змінну пряму ${\displaystyle OL=\ell }$ (точка ${\displaystyle O=(0;0)}$— початок координат).
З точки ${\displaystyle N}$ їх перетину проведено пряму ${\displaystyle NM\parallel Ox}$, що перетинає вісь ${\displaystyle Oy}$ в точці ${\displaystyle E}$. Із точки ${\displaystyle L}$ перетину прямих ${\displaystyle OL=\ell }$ та ${\displaystyle AL\quad \textstyle {(y=a)}}$ проведено пряму ${\displaystyle LM\parallel Oy}$. Геометричне місце точок ${\displaystyle M}$ перетину прямих ${\displaystyle NM}$ та ${\displaystyle LM}$ є псевдоверзієрою.
Її рівняння у декартовій системі координат ^{[6] :стор.215, п.5}:

${\displaystyle y={\frac {2a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}}$.

або ж:

${\displaystyle x^{2}y=a^{2}\cdot (2a-y)}$.

Цю криву досліджував Дж. Грегорі в 1658 і використовував Готфрід Лейбніц у 1674 році, виводячи вираз: ^{[8] :стор.238}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+...}$

• Узагальненням локона Аньєзі можуть бути криві:
  • Аньєзіана ^{[6] :стор.215, п.6} — пряма ${\displaystyle AL}$ (див. означення локона Аньєзі) займає довільне положення, та перпендикулярна до ${\displaystyle OA}$.

Означення Пряма ${\displaystyle \ell }$, що проходить через початок координат ${\displaystyle O=(0;0)}$, перетинає коло ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a\cdot y}$ та пряму ${\displaystyle y=b}$ в точках ${\displaystyle C}$ та ${\displaystyle L}$ відповідно. Точка ${\displaystyle M}$ перетину прямих ${\displaystyle CM}$ та ${\displaystyle LM}$, що паралельні до осей координат ${\displaystyle Ox}$ та ${\displaystyle Oy}$ відповідно, окреслює криву

${\displaystyle y\cdot (b^{2}+x^{2})=ab^{2}}$.

яку називають аньєзіаною.

У випадку ${\displaystyle a=b}$, крива є локоном Аньєзі; а у випадку ${\displaystyle a=2b}$ — псевдо-локоном.

• • Агвінея Ньютона — не тільки пряма ${\displaystyle AL}$, а ще й полюс ${\displaystyle O}$ займає довільне положення.

• Крива
• Кубика
• Розподіл Коші

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 168, 171–173. ISBN 0-486-60288-5.

• Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І. Графіки функцій. Довідник / під ред. академіка АН УРСР Ляшко І.І. — Київ : Наукова думка, 1977. — 320 с.

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

• Robert C. Yates (1947). A Handbook on Curves and their Properties. digital reprint by www.CircuitousRoot.com. с. 198.

• Lockwood E. H. (Edward Harrington) (1961). A Book of Curves. Cambridge, Eng. : University Press. с. 198. ISBN 9780511569340.

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.

• Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1961.

• Weisstein, Eric W. Witch of Agnesi(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Witch of Agnesi [Архівовано 8 грудня 2011 у Wayback Machine.] by Chris Boucher based on work by Eric W. Weisstein, The Wolfram Demonstrations Project.
• The Witch of Agnesi [Архівовано 7 червня 2011 у Wayback Machine.] - Mathforum.org Java applet
• Witch of Agnesi Encyclopedia of Mathematics.
• Ferréol Robert , WITCH OF AGNESI, на сайті MATHCURVE.COM, 2019
• MacTutor History of Mathematics Archive. "Witch of Agnesi."
• Xah Lee. Witch of Agnesi